Teorema dei numeri primi

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In teoria dei numeri, il teorema dei numeri primi descrive la distribuzione asintotica dei numeri primi, dando una descrizione approssimativa di come i numeri primi sono distribuiti.

Enunciato[modifica | modifica wikitesto]

Per ogni numero reale positivo x, si definisca la funzione:

\pi(x)\,:=\,\text{ numero di primi minori o uguali a } x

Il teorema dei numeri primi afferma che:

\pi(x)\sim\frac{x}{\ln(x)},

dove ln(x) è il logaritmo naturale di x. Questa notazione vuole significare solo che il limite del quoziente delle due funzioni π(x) e x/ln(x) per x che tende ad infinito è 1 (vedi stima asintotica); ciò non significa che il limite della differenza delle due funzioni, per x che tende ad infinito, è 0.

Comparazione tra le funzioni π(x), x/ln x e Li(x)

Un'approssimazione ancora migliore, e una stima per il termine di errore, sono date dalla formula:

\pi(x)={\rm Li} (x) + O \left(x e^{-\frac{1}{15}\sqrt{\ln(x)}}\right) \quad \mbox{ per }\quad x \rightarrow \infty

dove si è usata la notazione O grande, e Li(x) denota la funzione logaritmo integrale.

Come conseguenza del teorema dei numeri primi si può ottenere un'espressione asintotica per l'n-esimo numero primo p(n):

p(n)\sim n\ln(n).

Equivalentemente, la differenza tra l'n-esimo numero primo e il successivo è asintotica a:

p(n+1)-p(n)\sim \ln(n).

Quella che segue è una tabella che mette a confronto le tre funzioni π(x), x/ln(x) e Li(x).

x π(x) π(x) − x / ln x π(x) / (x / ln x) Li(x) − π(x) π(x) / Li(x) x / π(x)
10 4 −0,3 0,921 2,2 0,64516129 2,500
102 25 3,3 1,151 5,1 0,830564784 4,000
103 168 23 1,161 10 0,943820225 5,952
104 1.229 143 1,132 17 0,98635634 8,137
105 9.592 906 1,104 38 0,996053998 10,425
106 78.498 6.116 1,084 130 0,998346645 12,.740
107 664.579 44.158 1,071 339 0,999490163 15,047
108 5.761.455 332.774 1,061 754 0,999869147 17,357
109 50.847.534 2.592.592 1,054 1.701 0,999966548 19,667
1010 455.052.511 20.758.029 1,048 3.104 0,999993179 21,975
1011 4.118.054.813 169.923.159 1,043 11.588 0,999993179 24,283
1012 37.607.912.018 1.416.705.193 1,039 38.263 0,999997186 26,590
1013 346.065.536.839 11.992.858.452 1,034 108.971 0,999998983 28,896
1014 3.204.941.750.802 102.838.308.636 1,033 314.890 0,999999685 31,202
1015 29.844.570.422.669 891.604.962.452 1,031 1.052.619 0,999999902 33,507
1016 279.238.341.033.925 7.804.289.844.393 1,029 3.214.632 0,999999965 35,812
1017 2.623.557.157.654.233 68.883.734.693.281 1,027 7.956.589 0,999999988 38,116
1018 24.739.954.287.740.860 612.483.070.893.536 1,025 21.949.555 0,999999997 40,420
1019 234.057.667.276.344.607 5.481.624.169.369.960 1,024 99.877.775 0,999999999 42,725
1020 2.220.819.602.560.918.840 49.347.193.044.659.701 1,023 222.744.644 1,000000000 45,028
1021 21.127.269.486.018.731.928 446.579.871.578.168.707 1,022 597.394.254 1,000000000 47,332
1022 201.467.286.689.315.906.290 4.060.704.006.019.620.994 1,021 1.932.355.208 1,000000000 49,636
1023 1.925.320.391.606.818.006.727 37.083.513.766.592.669.113 1,020 7.236.148.412 1,000000000 51,939

Storia del teorema[modifica | modifica wikitesto]

Questo teorema fu congetturato per la prima volta da Legendre nel 1798 e fu riproposto pochi anni più tardi da Gauss nella forma equivalente

\pi(x)\approx{\rm Li} (x).

Il primo risultato nella direzione della dimostrazione di tale congettura fu provato da Chebyshev che nel 1848 mostrò che, se π(x)ln(x)/x converge ad un limite per x tendente all'infinito, il limite dev'essere 1. Due anni più tardi lo stesso Chebyshev provò che vi sono due costanti 0<a<1<b tali che

a\frac{x}{\ln(x)}<\pi(x)<b\frac{x}{\ln(x)}

per x sufficientemente grande. Le dimostrazioni del matematico russo si basano sulla formula prodotto di Eulero che afferma che

\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^x} = \prod_{p} \frac{1}{1-p^{-x}},

per x>1. Nel 1859 il matematico tedesco Bernhard Riemann pubblicò un articolo in cui considerava tale prodotto non più per una variabile reale x, ma per una variabile complessa s di parte reale maggiore di 1, definendo quindi la funzione

\zeta(s)=\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^s} = \prod_{p} \frac{1}{1-p^{-s}},

divenuta nota con il nome di funzione zeta di Riemann. Sebbene Riemann non riesca a provare il teorema dei numeri primi, i risultati che ottiene, quale l'equazione funzionale per la funzione zeta di Riemann, e il punto di vista nuovo che introduce saranno fondamentali per la successiva dimostrazione. Circa quarant'anni dopo il lavoro di Riemann, nel 1896, Hadamard e de la Vallée Poussin riescono, indipendentemente, a provare il teorema dei numeri primi. Entrambe le dimostrazioni utilizzano metodi di analisi complessa e si basano principalmente sulla dimostrazione che la funzione zeta di Riemann non ha zeri nella retta Re(s)=1.

Il legame tra il teorema dei numeri primi e la funzione zeta di Riemann è molto profondo. Più precisamente, ogni risultato sull'assenza di zeri nella striscia 1/2<Re(s)<1, ha come conseguenza risultati sulla bontà dell'approssimazione di π(x) con li(x). Un esempio di ciò è dato dal risultato che Helge von Koch dimostrò nel 1901. Egli provò infatti che se non vi sono zeri in tale striscia, e cioè se è vera l'ipotesi di Riemann, allora

 \pi(x) = {\rm Li} (x) + O\left(\sqrt x \ln (x)\right)[1]

In altre parole, la verità dell'ipotesi di Riemann implica una stima molto migliore dell'errore presente nel teorema dei numeri primi rispetto a quelle attualmente disponibili e, fondamentalmente, anche la migliore stima possibile.

Il problema della 'profondità'[modifica | modifica wikitesto]

Sono disponibili delle cosiddette "dimostrazioni elementari" del Teorema, dimostrazioni che non usano cioè metodi di analisi complessa. La prima fra queste è stata fornita in parte indipendentemente da Paul Erdős e Atle Selberg nel 1949; precedentemente, alcuni esperti nel campo avevano creduto che una dimostrazione simile non potesse essere trovata. In altre parole, è stato dichiarato, specialmente da G. H. Hardy, che l'analisi complessa era necessariamente coinvolta nel Teorema, portando al concetto di profondità dei teoremi. Metodi con sole variabili reali erano considerati essere inadeguati. Questo non era un concetto logico e rigoroso (e effettivamente non può esserlo), ma era piuttosto basato sull'opinione che dovesse esistere una simile gerarchia di tecniche (per ragioni di estetica, presumibilmente, nel caso di Hardy). La formulazione di questa convinzione è stata piuttosto scossa da una dimostrazione del Teorema basata sul teorema tauberiano di Wiener, benché questo possa essere aggirato assegnando al teorema di Wiener una 'profondità' stessa equivalente ai metodi complessi.

Il lavoro di Selberg - Erdős ha effettivamente messo in gioco l'intero concetto, mostrando che i metodi tecnicamente elementari (in altre parole la combinatoria) sono stati più incisivi di quanto ci si sarebbe atteso. I successivi sviluppi dei metodi del crivello hanno mostrato che essi svolgono un ruolo ben definito nella teoria dei numeri primi.

Note[modifica | modifica wikitesto]

  1. ^ In questo caso vale anche il viceversa, cioè se questa equazione è vera allora è vera anche l'ipotesi di Riemann.

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

  • (EN) Tom M. Apostol, Introduction to Analytic Number Theory, Springer-Verlag, New York, 1976, ISBN 0-387-90163-9.
  • (EN) E. C. Titchmarsh (Author), D. R. Heath-Brown (Editor), The Theory of the Riemann Zeta-Function, Oxford Science Publications, 1986, ISBN 0-19-853369-1.
  • (EN) Harold M. Edwards, Riemann's Zeta Function, Courier Dover Publications, 2001, ISBN 0-486-41740-9.
  • (EN) Albert Edward Ingham, The Distribution of Prime Numbers, New York, Cambridge Mathematical Library, 1932, ISBN 0-521-39789-8.
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