Identità di Eulero

La funzione esponenziale e^z può essere definita come il limite di (1 + z/N)^N per N tende a infinito e pertanto e^iπ è il limite di (1 + iπ/N)^N. In questa animazione, N assume valori crescenti da 1 a 100. Il calcolo di (1 + iπ/N)^N è visualizzato come l'effetto combinato di N moltiplicazioni ripetute nel piano complesso, con l'ultimo puntino tale che assuma il valore effettivo di (1 + iπ/N)^N. Si può osservare che man mano che N aumenta, (1 + iπ/N)^N tende al limite di −1.

In matematica, l'identità di Eulero è il caso particolare della formula di Eulero in cui la variabile è pari a pi greco.

L'identità

L'identità di Eulero è la seguente uguaglianza:

$e^{i \pi} + 1 = 0 \,\!$

dove:

$e$ è la base dei logaritmi naturali,

$i$ è l'unità immaginaria, il numero complesso il cui quadrato è $-1$, e

$\pi$ è Pi greco, il rapporto fra la lunghezza di una circonferenza e il suo diametro.

L'identità è talvolta espressa equivalentemente come:

$e^{i \pi} = -1 \,\!$

Nella prima formulazione si rende esplicita la relazione fra le cinque costanti matematiche in essa contenute.

Storia e significato

L'equazione appare nella Introduzione di Leonhard Euler, pubblicata a Losanna nel 1748. L'identità è un caso particolare della formula di Eulero dell'analisi complessa, la quale afferma che:

$e^{ix} = \cos x + i \, \mathrm{sen} \, x \,\!$

per ogni numero reale $x$, essendo cos la funzione coseno e sen la funzione seno. Se $x = \pi$, allora

$e^{i \pi} = \cos \pi + i \, \mathrm{sen} \, \pi \,\!$

e poiché, per definizione

$\cos \pi = -1\,\!$

e

$\mathrm{sen} \, \pi = 0\,\!$

segue che

$e^{i \pi} = -1 \,\!$

Percezione dell'identità

Benjamin Peirce, il noto matematico e professore di Harvard del XIX secolo, dopo aver dimostrato l'identità in una lezione, disse: "Signori, posso dirlo con certezza, è assolutamente paradossale; non possiamo capirla, e non sappiamo che cosa significa. Ma l'abbiamo dimostrata, e quindi sappiamo che deve essere la verità." Richard Feynman chiamò la formula di Eulero (dalla quale l'identità è stata derivata) "la formula più straordinaria in matematica". Feynman, come molti altri, trovò questa formula notevole perché collega alcune costanti matematiche molto importanti:

• Il numero $0$, l'elemento neutro per l'addizione (per ogni $a$, $a+0=0+a=a$). Vedi Gruppo (matematica) e Zero.
• Il numero $1$, l'elemento neutro per la moltiplicazione (per ogni $a$, $a \times 1=1 \times a=a$). Vedi 1 (numero).
• Il numero $\pi$ è fondamentale nella trigonometria; $\pi$ è una costante per un mondo che è euclideo, o per le piccole scale in una geometria non euclidea (altrimenti, il rapporto fra la lunghezza della circonferenza di un cerchio e il suo diametro non sarebbe una costante universale, cioè la stessa per tutte le circonferenze).
• Il numero $e$ è una costante fondamentale connessa allo studio dei logaritmi in analisi (come lo studio delle equazioni differenziali, ad esempio la soluzione della equazione differenziale $dy / dx = y$ con condizione iniziale $y(0) = 1$ è $y = e^x$).
• L'unità immaginaria $i$ (dove $i^2 = -1$) è una unità nei numeri complessi. L'introduzione di questa unità rende risolvibili nel campo dei numeri complessi tutte le equazioni polinomiali non costanti (vedi teorema fondamentale dell'algebra).
• La formula contiene una potenza irrazionale (il numero irrazionale neperiano $e$, elevato ad un esponente che contiene il fattore irrazionale $\pi$), rara nelle formule matematiche, e collega numeri irrazionali reali ($e$), irrazionali immaginari ($i\cdot \pi$), e interi ($1$).

Inoltre, tutti gli operatori fondamentali dell'aritmetica sono presenti: uguaglianza, addizione, moltiplicazione e esponenziazione. Tutte le assunzioni fondamentali dell'analisi complessa sono presenti, e gli interi 0 e 1 sono collegati al campo dei numeri complessi.

Bibliografia

• Richard P. Feynman, The Feynman Lectures on Physics, vol. I Addison-Wesley (1977), ISBN 0-201-02010-6
• Eli Maor, e: The Story of a number, Princeton University Press (May 4, 1998), ISBN 0-691-05854-7

Collegamenti esterni

• (EN) Proof of Euler's Identity by Julius O. Smith III
• (EN) Proof of Euler's Relation by Craig Lewis
• Derivazione della Formula e della Identità di Eulero

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