Identità di Eulero

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In matematica, l'identità di Eulero è la seguente uguaglianza:

$e^{i \pi} = -1 \,\!$

dove:

$e\,\!$ è la base dei logaritmi naturali,

$i\,\!$ è l'unità immaginaria, il numero complesso il cui quadrato è $-1\,\!$ , e

$\pi\,\!$ è Pi greco, il rapporto fra la lunghezza di una circonferenza e il suo diametro.

L'identità è talvolta espressa equivalentemente come:

$e^{i \pi} + 1 = 0 \,\!$

in modo da rendere esplicita la relazione fra queste cinque costanti matematiche (vedi sotto).

L'equazione appare nella Introduzione di Leonhard Euler, pubblicata a Losanna nel 1748. L'identità è un caso particolare della formula di Eulero dell'analisi complessa, la quale afferma che:

$e^{ix} = \cos x + i \sin x \,\!$

per ogni numero reale $x\,\!$ , essendo cos la funzione coseno e sin la funzione seno. Se $x = \pi\,\!$ , allora

$e^{i \pi} = \cos \pi + i \sin \pi \,\!$

e poiché, per definizione

$\cos \pi = -1\,\!$

$\sin \pi = 0\,\!$

segue che

$e^{i \pi} = -1 \,\!$

[modifica] Percezione dell'identità

Benjamin Peirce, il noto matematico e professore di Harvard del diciannovesimo secolo, dopo aver dimostrato l'identità in una lezione, disse: "Signori, posso dirlo con certezza, è assolutamente paradossale; non possiamo capirla, e non sappiamo che cosa significa. Ma l'abbiamo provata, e quindi sappiamo che deve essere la verità."^[1] Richard Feynman chiamò la formula di Eulero (dalla quale l'identità è stata derivata) "la formula più straordinaria in matematica".^[2] Feynman, come molti altri, trovò questa formula notevole perché collega alcune costanti matematiche molto importanti:

Il numero $0\,\!$ , l'elemento neutro per l'addizione (per ogni a, $a+0=0+a=a\,\!$ ). Vedi Gruppo (matematica) e Zero.
Il numero $1\,\!$ , l'elemento neutro per la moltiplicazione (per ogni a, $a*1=1*a=a\,\!$ ). Vedi 1 (numero).
Il numero $\pi\,\!$ è fondamentale nella trigonometria; $\pi\,\!$ è una costante per un mondo che è euclideo, o per le piccole scale in una geometria non euclidea (altrimenti, il rapporto fra la lunghezza della circonferenza di un cerchio e il suo diametro non sarebbe una costante universale, cioè la stessa per tutte le circonferenze).
Il numero $e\,\!$ è una costante fondamentale connessa allo studio dei logaritmi in analisi (come lo studio delle equazioni differenziali, ad esempio la soluzione della equazione differenziale $dy / dx = y\,\!$ con condizione iniziale $y(0) = 1\,\!$ è $y = e^x\,\!$ ).
L'unità immaginaria $i\,\!$ (dove $i^2 = -1\,\!$ ) è una unità nei numeri complessi. L'introduzione di questa unità rende risolvibili nel campo dei numeri complessi tutte le equazioni polinomiali non costanti (vedi teorema fondamentale dell'algebra).
La formula contiene una potenza irrazionale (il numero irrazionale neperiano $e$ , elevato ad un esponente che contiene il fattore irrazionale $π$ ), rara nelle formule matematiche, e collega numeri irrazionali reali ( $e$ ), irrazionali immaginari ( $i\cdot \pi$ ), e interi ( $1$ ).

Inoltre, tutti gli operatori fondamentali dell'aritmetica sono presenti: uguaglianza, addizione, moltiplicazione e esponenziazione. Tutte le assunzioni fondamentali dell'analisi complessa sono presenti, e gli interi 0 e 1 sono collegati al campo dei numeri complessi.

[modifica] Bibliografia

Feynman, Richard P., The Feynman Lectures on Physics, vol. I Addison-Wesley (1977), ISBN 0201020106, ISBN 02010211161
Maor, Eli, e: The Story of a number, Princeton University Press (May 4, 1998), ISBN 0691058547

[modifica] Note

^ Maor, p. 160. Maor cita Edward Kasner e James Newman, Mathematics and the Imagination, New York: Simon e Schuster (1940), pp. 103–104
^ Feynman p. 22-10.