Identità di Eulero

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La funzione esponenziale ez può essere definita come il limite di (1 + z/N)N per N tende a infinito e pertanto e è il limite di (1 + iπ/N)N. In questa animazione, N assume valori crescenti da 1 a 100. Il calcolo di (1 + iπ/N)N è visualizzato come l'effetto combinato di N moltiplicazioni ripetute nel piano complesso, con l'ultimo puntino tale che assuma il valore effettivo di (1 + iπ/N)N. Si può osservare che man mano che N aumenta, (1 + iπ/N)N tende al limite di −1.

In matematica, l'identità di Eulero è il caso particolare della formula di Eulero in cui la variabile è pari a pi greco.

L'identità[modifica | modifica sorgente]

L'identità di Eulero è la seguente uguaglianza:

e^{i \pi} + 1 = 0

dove:

e è la base dei logaritmi naturali,
i è l'unità immaginaria, il numero complesso il cui quadrato è -1, e
\pi è Pi greco, il rapporto fra la lunghezza di una circonferenza e il suo diametro.

L'identità è talvolta espressa equivalentemente come:

e^{i \pi} = -1

Nella prima formulazione si rende esplicita la relazione fra le cinque costanti matematiche in essa contenute.

Storia e significato[modifica | modifica sorgente]

L'equazione appare nella Introduzione di Eulero,[senza fonte] pubblicata a Losanna nel 1748. L'identità è un caso particolare della formula di Eulero dell'analisi complessa, la quale afferma che:

e^{ix} = \cos x + i \, \mathrm{sen} \, x

per ogni numero reale x, essendo cos la funzione coseno e sen la funzione seno. Se x = \pi, allora

e^{i \pi} = \cos \pi + i \, \mathrm{sen} \, \pi

e poiché

\cos \pi = -1

e

\mathrm{sen} \, \pi = 0

segue che

e^{i \pi} = -1

Percezione dell'identità[modifica | modifica sorgente]

Benjamin Peirce, il noto matematico e professore di Harvard del XIX secolo, dopo aver dimostrato l'identità in una lezione, disse: "Signori, posso dirlo con certezza, è assolutamente paradossale; non possiamo capirla, e non sappiamo che cosa significa. Ma l'abbiamo dimostrata, e quindi sappiamo che deve essere la verità."[1] Richard Feynman chiamò la formula di Eulero (dalla quale l'identità è stata derivata) "la formula più straordinaria in matematica".[2] Feynman, come molti altri, trovò questa formula notevole perché collega alcune costanti matematiche molto importanti:

  • Il numero 0, l'elemento neutro per l'addizione (per ogni a, a+0=0+a=a). Vedi Gruppo (matematica) e Zero.
  • Il numero 1, l'elemento neutro per la moltiplicazione (per ogni a, a \times 1=1 \times a=a). Vedi 1 (numero).
  • Il numero \pi è fondamentale nella trigonometria; \pi è una costante per un mondo che è euclideo, o per le piccole scale in una geometria non euclidea (altrimenti, il rapporto fra la lunghezza della circonferenza di un cerchio e il suo diametro non sarebbe una costante universale, cioè la stessa per tutte le circonferenze).
  • Il numero e è una costante fondamentale connessa allo studio dei logaritmi in analisi (come lo studio delle equazioni differenziali, ad esempio la soluzione della equazione differenziale dy / dx = y con condizione iniziale y(0) = 1 è y = e^x).
  • L'unità immaginaria i (dove i^2 = -1) è una unità nei numeri complessi. L'introduzione di questa unità rende risolvibili nel campo dei numeri complessi tutte le equazioni polinomiali non costanti (vedi teorema fondamentale dell'algebra).
  • La formula contiene una potenza irrazionale (il numero irrazionale neperiano e, elevato ad un esponente che contiene il fattore irrazionale \pi), rara nelle formule matematiche, e collega numeri irrazionali reali (e), irrazionali immaginari (i\cdot \pi), e interi (1).

Inoltre, tutti gli operatori fondamentali dell'aritmetica sono presenti: uguaglianza, addizione, moltiplicazione e esponenziazione. Tutte le assunzioni fondamentali dell'analisi complessa sono presenti, e gli interi 0 e 1 sono collegati al campo dei numeri complessi.

Note[modifica | modifica sorgente]

  1. ^ Maor, pag. 160. Maor cita Edward Kasner e James Newman, Mathematics and the Imagination, New York: Simon e Schuster (1940), pagg. 103–104
  2. ^ Feynman pag. 22-10.

Bibliografia[modifica | modifica sorgente]

Collegamenti esterni[modifica | modifica sorgente]

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