Inverso di un numero complesso

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In matematica l'inverso di un numero complesso z = a + ib \neq 0 è quel numero tale che moltiplicato per z da 1. Ovvero, indicando l'inverso con z − 1, è tale che:

z \cdot z^{-1} = 1

Indice

[modifica] Costruzione algebrica

Conoscendo la norma ed il coniugato di z è possibile calcolare z − 1 attraverso la formula:

z^{-1} = \frac{\bar{z}}{|z|^2}

Ovvero, se z = a + ib otteniamo

z^{-1} = \frac{a-ib}{a^2+b^2}

Nel caso di un numero reale a = a + i0 si ottiene banalmente:

a^{-1} = \frac{a}{a^2} = \frac{1}{a}

[modifica] Costruzione geometrica

Fissato il punto z sul piano di Argand-Gauss è possibile costruire il punto z − 1 usando alcuni teoremi della geometria euclidea.

[modifica] Primo metodo

Si fissi il punto del piano di Gauss che rappresenta il numero complesso z e si congiunga tale punto con l'origine O.

Si tracci la retta simmetrica alla retta \overline{Oz} rispetto all'asse reale.

Si disegni la circonferenza di centro nell'origine e raggio 1 e si indichi con A il punto di intersezione di tale circonferenza con la retta \overline{Oz}.

Si congiunga z con il punto C = \left(1,0\right) e si conduca da A la parallela alla retta \overline{Cz}.

Indicato con B il punto di intersezione di tale parallela con l'asse reale, si disegni la circonferenza con centro nell'origine e raggio \overline{OB}.

Il punto di intersezione di tale circonferenza con la retta simmetrica della retta \overline{Oz} rispetto all'asse reale è il punto del piano di Gauss che rappresenta il numero complesso \frac{1}{z}.

Infatti, per la similitudine dei triangoli OAB e OzC, si ha:

Oz : OA = OC : OB \quad \Rightarrow \quad \left| z \right| : 1 = 1 : OB \quad \Rightarrow \quad OB = \frac{1}{|z|}

D'altra parte, essendo z^{-1} = \frac{\overline{z}}{\left|z\right|^2} un multiplo di \overline{z} avrà il suo stesso argomento, ovvero starà nella retta \overline{O\overline{z}}

Quindi il numero costruito è proprio \frac{1}{z} poiché ha modulo uguale ad \overline{OB} = \frac{1}{\left| z \right|} ed argomento opposto a quello di z.

[modifica] Secondo metodo

Si fissi il punto del piano di Gauss che rappresenta il numero complesso z e si tracci il complesso coniugato \overline{z}.

Si congiunga \overline{z} con l'origine O.

Si disegni la circonferenza con centro nell'origine e raggio 1 e si conduca da \overline{z} una delle due tangenti a tale circonferenza e si indichi con T il punto di tangenza.

Si congiunga tale punto con l'origine e si conduca, sempre da T la perpendicolare alla retta \overline{O\overline{z}}.

Il piede X di tale perpendicolare è il punto del piano di Gauss che rappresenta il numero complesso \frac{1}{z}.

Infatti, per il primo teorema di Euclide applicato al triangolo rettangolo OT\overline{z} si ha:

\overline{O\overline{z}} : \overline{OT} = \overline{OT} : \overline{OX}

ma, poiché \left| \overline{z} \right| = \left| z \right|, si ha

\left| z \right| : 1 = 1 : \overline{OX} \quad \Rightarrow \quad \overline{OX} = \frac{1}{\left|z\right|}.

Il segmento \overline{OX} è inoltre contenuto nella retta passante per l'origine e \overline{z}, quindi l'argomento è esattamente l'opposto di quello di z.

[modifica] Voci correlate


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