Similitudine (geometria)

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Gli oggetti aventi lo stesso colore sono simili.

La similitudine è una particolare trasformazione geometrica, contenuta nel piano o nello spazio, che conserva i rapporti tra le distanze. Questo vuol dire che, per ogni similitudine f, esiste un numero reale positivo k tale che

d(f(A),f(B))=k\cdot d(A,B)

per ogni coppia di punti (A,B).

Ogni similitudine si può ottenere dalla composizione di una omotetia ed una isometria, o viceversa.

Queste trasformazioni mantengono la "forma" (non vengono modificati gli angoli) dell'oggetto, pur cambiandone la posizione, l'orientazione o la grandezza; quindi due oggetti simili hanno la stessa "forma".

Esempi[modifica | modifica sorgente]

Due circonferenze nel piano sono sempre simili. Tutti i quadrati sono simili: più in generale, tutti i poligoni regolari con un numero fissato di lati e la stessa ampiezza degli angoli, sono simili.

Tutte le parabole sono simili fra loro, mentre ellissi ed iperboli non lo sono necessariamente.

Quando due oggetti  P e  Q sono simili, si scrive generalmente

 P\sim Q\,\!.

Geometria affine[modifica | modifica sorgente]

In geometria affine, una similitudine del piano cartesiano è una particolare affinità

f(x) = Ax+b.

In questa notazione x indica un generico punto del piano (x_1,x_2), mentre A è una matrice 2x2

 A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{pmatrix}

e b è un vettore colonna fissato (b_1,b_2). Nella notazione si fa uso della moltiplicazione fra matrici.

Una affinità descritta in questo modo è una similitudine se e solo se:

a_{11}^2 + a_{21}^2 = a_{21}^2 + a_{22}^2 = |a_{11} \cdot a_{22} - a_{12} \cdot a_{21}| = |\det A| \neq 0.

Questo è equivalente a chiedere che i coefficienti a_{ij} siano tutti non nulli e che una delle due seguenti condizioni sia verificata:

  • a_{11} = a_{22} \wedge a_{12} = -a_{21}, oppure
  • a_{11} = -a_{22} \wedge a_{12} = a_{21}.

Nel primo caso, il determinante di A è positivo, la similitudine preserva l'orientazione e si dice diretta. Nel secondo caso il determinante è negativo, l'orientazione è ribaltata e si dice inversa.

Poligoni[modifica | modifica sorgente]

Misurazioni tramite il calcolo di poligoni primi (stampa del 1607)

Triangoli simili[modifica | modifica sorgente]

Esistono alcuni criteri che permettono di determinare se due triangoli sono simili, il primo è il più noto:

  1. Due triangoli sono simili se e solo se hanno ordinatamente tre angoli congruenti.
    • Corollario 1. Due triangoli equilateri sono simili.
    • Corollario 2. Due triangoli rettangoli, con un angolo acuto congruente, sono simili.
    • Corollario 3. Due triangoli isosceli, con gli angoli al vertice congruenti, sono simili.
  2. Due triangoli ABC e  DEF tali che:
    •  {AB \over DE} = {BC \over EF}
    • gli angoli in  B e in  E sono uguali,
    sono simili.
    • Corollario. Due triangoli rettangoli sono simili se hanno i cateti in proporzione
  3. Due triangoli ABC e  DEF tali che:
     \frac{AB}{DE} = \frac{AC}{DF} = \frac{BC}{EF}
    sono simili.

Poligoni simili[modifica | modifica sorgente]

Esistono criteri analoghi per due poligoni arbitrari nel piano. Il più importante è il seguente:

Due poligoni sono simili se hanno gli angoli corrispondenti congruenti e i lati corrispondenti in proporzione.

In verità, non è necessario effettuare la verifica su tutti gli angoli e tutti i lati: è possibile escludere

  • due lati qualsiasi consecutivi e l'angolo compreso tra essi, oppure
  • due angoli qualsiasi consecutivi e il lato compreso tra essi, oppure
  • tre angoli consecutivi.

Se il poligono non è un triangolo, non è vero che due poligoni aventi gli angoli interni uguali sono simili: ad esempio, due rettangoli hanno sempre gli stessi angoli interni, ma sono simili soltanto se hanno lo stesso rapporto fra i lati.

Numeri complessi e figure auto-similari[modifica | modifica sorgente]

Numeri complessi[modifica | modifica sorgente]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi Rotazione nel piano complesso.

Ogni similitudine fra due oggetti nel piano può essere elegantemente espressa tramite l'uso dei numeri complessi. È sufficiente descrivere il piano come piano complesso: in questo modo, ogni similitudine è esprimibile tramite una trasformazione lineare del tipo

 z\mapsto az+b

oppure

 z\mapsto a\bar z+b

dove a e  b sono due numeri complessi, e \bar z è il complesso coniugato di  z\,\! .

Frattali[modifica | modifica sorgente]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi Frattale.

Un frattale è un oggetto geometrico autosimilare: ogni sua piccola parte contiene un oggetto simile all'oggetto grande.

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