Fasore

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Un fasore può essere visto come un vettore che ruota

Per i circuiti elettrici variabili (ad esempio in corrente alternata) il fasore è un numero complesso, rappresentabile quindi come vettore nel piano complesso, che rappresenta la trasformata di Steinmetz di una funzione sinusoidale di pulsazione ben definita. I fasori sono utilizzati dal metodo simbolico quale comoda rappresentazione in campo complesso di grandezze fisiche reali oscillanti come, in particolare, le grandezze elettriche, tensione o corrente.

Definizione[modifica | modifica wikitesto]

La formula di Eulero consente di rappresentare matematicamente una funzione sinusoidale sia come somma di due funzioni complesse:

A\cdot \cos(\omega t + \theta) = A/2\cdot e^{i(\omega t + \theta)} + A/2\cdot e^{-i(\omega t + \theta)},

sia come parte reale di una delle funzioni:


\begin{align}
A\cdot \cos(\omega t + \theta) &= \operatorname{Re} \left\{ A\cdot e^{i(\omega t + \theta)}\right\} \\
&= \operatorname{Re} \left\{ A e^{i\theta} \cdot e^{i\omega t}\right\}.
\end{align}

dove i è l'unità immaginaria, spesso indicata con j, e il numero di Nepero e la frequenza è data da \omega/2\pi.
Il fasore indica sia A e^{i\theta} e^{i\omega t} sia la costante complessa A e^{i\theta}. Nel secondo caso si usa anche la notazione semplificata A \angle \theta. In generale, la seconda forma è utilizzata, ad esempio, in uno spazio di fasori che hanno tutti la stessa pulsazione, che, in genere, è associata al fasore come oggetto.

Fasori e funzioni sinusoidali[modifica | modifica wikitesto]

Ogni famiglia di funzioni sinusoidali isofrequenziali, cioè alla stessa frequenza e quindi con pulsazione  \omega fissata, che rappresenti una generica grandezza  x(t)\; :

x(t) = X \cos(\omega t + \phi_x)\;

dove X rappresenta l'ampiezza della grandezza e \phi_x la fase, può quindi essere rappresentata da un numero complesso con modulo X e anomalia (o angolo) \phi_x \;. Si può quindi scrivere, per il nostro caso:

 x(t) \Rightarrow^{\mathfrak{F}}  X e^{j \phi_x} \equiv \mathbf{X}

dove  \mathfrak{F} indica la trasformazione da funzione del tempo a fasore, mentre \mathbf X rappresenta in maniera compatta il fasore. Nella rappresentazione simbolica bisogna tenere conto e specificare sia l'ampiezza del fasore X sia la fase \phi_x essendo un numero complesso.

Essendo la pulsazione  \omega sottintesa, i fasori possono essere impiegati solo in circuiti elettrici nei quali tutte le grandezze elettriche siano sinusoidali e siano tutte alla stessa frequenza. Si può dimostrare che ciò è rigorosamente possibile solo nei circuiti lineari.

I fasori possono essere espressi sia in forma polare, indicando quindi, come sopra, modulo e fase, sia in forma cartesiana. In questo caso si ha:

 \Re (\mathbf{X}) = X \cos( \phi_x)
 \Im (\mathbf{X}) = X \operatorname{\,sen}( \phi_x)

Lo scopo dei fasori è quello di rendere più semplice e immediata l'analisi a regime dei circuiti lineari dotati di ingressi sinusoidali puri o riconducibili a una somma di sinusoidi. In questo caso la linearità del circuito garantisce la possibilità di applicare il principio di sovrapposizione degli effetti e di analizzare il circuito per ogni singola componente della somma di sinusoidi.

Proprietà dei fasori[modifica | modifica wikitesto]

I fasori permettono di descrivere le grandezze sinusoidali con un numero complesso costante, poiché nell'ambito dei circuiti isofrequenziali, il fattore e^{j \omega t} viene omesso. Per ritrasformare un fasore nella grandezza fisica corrispondente è necessario moltiplicarlo per tale esponenziale ed estrarre la parte reale del fasore:

 \mathbf X \equiv X e^{j \phi_x} = X(\cos \phi_x + j \operatorname{\,sen \,} \phi_x)

quindi estraendo la parte reale:

\mathbf X \Rightarrow \Re[\mathbf X e^{j \omega t}] = \Re[X e^{j \omega t} e^{j \phi_x}] = \Re[X e^{j (\omega t + \phi_x)}] \Rightarrow X \cos (\omega t + \phi_x)

Le operazioni con i fasori sono così definite:

  • Somma di fasori
X_1 \cos (\omega t + \phi_1) + X_2 \cos (\omega t + \phi_2) = \Re [\mathbf{X}_1 e^{j \omega t}] + \Re [\mathbf{X}_2 e^{j \omega t}] = \Re[(\mathbf{X}_1 + \mathbf{X}_2) e^{j \omega t}]

quindi:

\mathbf{X} = \mathbf{X}_1 + \mathbf{X}_2
  • Prodotto di un fasore per una costante reale
k \cdot [X \cos (\omega t + \phi_1)] = k \cdot \Re [\mathbf{X} e^{j \omega t}]

quindi:

\mathbf Y = k \mathbf X
  • Derivazione nel tempo

Poiché per una grandezza x(t) = A \cos (\omega t + \phi) e la sua derivata è:

x'(t) = \frac{d}{dt} A \cos (\omega t + \phi) = - A \omega \operatorname{\,sen}(\omega t + \phi) = A \omega \cos (\omega t + \phi + \pi /2)

allora in termini di fasori:

\mathbf Y = j \omega \mathbf X

Leggi costitutive dei bipoli nel dominio dei fasori[modifica | modifica wikitesto]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi Metodo simbolico.

Dato un circuito in regime sinusoidale isofrequenziale, le leggi costitutive dei bipoli R, L e C si trasformano. Il resistore, per il quale vale la legge

 v(t) = R i(t) \

è descritto dal metodo simbolico come:

\mathbf{V} = R \mathbf{I}

Le ampiezze |\mathbf V| = R \cdot |\mathbf I| e inoltre la tensione e la corrente che attraversano il resistore sono in fase:  \phi_v \equiv \phi_i.
Per il Condensatore si ha

 i(t) = C \frac{dv(t)}{dt}

e usando la regola di derivazione si ottiene:

\mathbf{I} = j \omega C \mathbf{V} .

Le ampiezze |\mathbf{I}| = \omega C |\mathbf V| e la corrente è in anticipo sulla tensione perché sfasata \phi_i = \phi_v + \pi/2.
Per l'Induttore si ha

 v(t) = L \frac{di(t)}{dt}

e quindi

\mathbf{V} = j \omega L \mathbf{I}

Le ampiezze |\mathbf{V}| = \omega L |\mathbf I| e la corrente è in ritardo sulla tensione perché \phi_v = \phi_i + \pi/2.

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

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