Fasore

Un fasore può essere visto come un vettore che ruota

Per i circuiti elettrici variabili (ad esempio in corrente alternata) il fasore è un numero complesso, rappresentabile quindi come vettore nel piano di Argand-Gauss, che rappreseta la trasformata di Steinmetz di una funzione sinusoidale di pulsazione ben definita. I fasori sono utilizzati dal metodo simbolico quale comoda rappresentazione in campo complesso di grandezze fisiche reali oscillanti come, in particolare, le grandezze elettriche, tensione o corrente.

Definizione

La formula di Eulero consente di rappresentare matematicamente una funzione sinusoidale sia come somma di due funzioni complesse:

$A\cdot \cos(\omega t + \theta) = A/2\cdot e^{i(\omega t + \theta)} + A/2\cdot e^{-i(\omega t + \theta)},$

sia come parte reale di una delle funzioni:

$\begin{align} A\cdot \cos(\omega t + \theta) &= \operatorname{Re} \left\{ A\cdot e^{i(\omega t + \theta)}\right\} \\ &= \operatorname{Re} \left\{ A e^{i\theta} \cdot e^{i\omega t}\right\}. \end{align}$

dove i è l'unità immaginaria, spesso indicata con j, e la frequenza è data da $\omega/2\pi$.
Il fasore indica sia $A e^{i\theta} e^{i\omega t}\,$ sia la costante complessa $A e^{i\theta}\,$. Nel secondo caso si usa anche la notazione semplificata $A \angle \theta.\,$

Fasori e funzioni sinusoidali

Ogni famiglia di funzioni sinusoidali isofrequenziali, cioè alla stessa frequenza e quindi con pulsazione $\omega$ fissata, che rappresenti una generica grandezza $x(t)\;$:

$x(t) = X \cos(\omega t + \phi_x)\;$

dove $X$ rappresenta l'ampiezza della grandezza e $\phi_x$ la fase, può quindi essere rappresentata da un numero complesso con modulo $X$ e anomalia (o angolo) $\phi_x \;$. Si può quindi scrivere, per il nostro caso:

$x(t) \Rightarrow^{\mathfrak{F}} X e^{j \phi_x} \equiv \mathbf{X}$

dove $\mathfrak{F}$ indica la trasformazione da funzione del tempo a fasore, mentre $\mathbf X$ rappresenta in maniera compatta il fasore. Nella rappresentazione simbolica bisogna tenere conto e specificare sia l'ampiezza del fasore $X$ che la fase $\phi_x$ essendo un numero complesso.

Essendo la pulsazione $\omega$ sottointesa, i fasori possono essere impiegati solo in circuiti elettrici nei quali tutte le grandezze elettriche siano sinusoidali e siano tutte alla stessa frequenza. Si può dimostrare che ciò è rigorosamente possibile solo nei circuiti lineari.

I fasori possono essere espressi sia in forma polare, indicando quindi, come sopra, modulo e fase, sia in forma cartesiana. In questo caso si ha:

$\Re (\mathbf{X}) = X \cos( \phi_x)$

$\Im (\mathbf{X}) = X \operatorname{\,sen}( \phi_x)$

Lo scopo dei fasori è quello di rendere più semplice e immediata l'analisi a regime dei circuiti lineari dotati di ingressi sinusoidali puri (o riconducibili ad una somma di sinusoidi, in questo caso, la linearità del circuito, ci garantisce la possibilità di applicare il principio di sovrapposizione degli effetti e di analizzare il circuito per ogni singola componente della somma di sinusoidi).

Proprietà dei fasori

I fasori permettono di descrivere le grandezze sinusoidali con un numero complesso costante, poiché la dipendenza dal tempo è sottointesa nel fattore $e^{j \omega t}$. Per poter ritrasformare un fasore alla grandezza fisica corrispondente bisogna solamente ricordare che è necessario estrarre la parte reale del fasore moltiplicata per il fattore esponenziale:

$\mathbf X \equiv X e^{j \phi_x} = X(\cos \phi_x + j \operatorname{\,sen \,} \phi_x)$

quindi estraendo la parte reale:

$\mathbf X \Rightarrow \Re[\mathbf X e^{j \omega t}] = \Re[X e^{j \omega t} e^{j \phi_x}] = \Re[X e^{j (\omega t + \phi_x)}] \Rightarrow X \cos (\omega t + \phi_x)$

Le operazioni con i fasori sono definite:

• Somma di fasori

$X_1 \cos (\omega t + \phi_1) + X_2 \cos (\omega t + \phi_2) = \Re [\mathbf{X}_1 e^{j \omega t}] + \Re [\mathbf{X}_2 e^{j \omega t}] = \Re[(\mathbf{X}_1 + \mathbf{X}_2) e^{j \omega t}]$

quindi:

$\mathbf{X} = \mathbf{X}_1 + \mathbf{X}_2$

• Prodotto di un fasore per una costante reale

$k \cdot [X \cos (\omega t + \phi_1)] = k \cdot \Re [\mathbf{X} e^{j \omega t}]$

quindi:

$\mathbf Y = k \mathbf X$

• Derivazione nel tempo

Poiché per una grandezza $x(t) = A \cos (\omega t + \phi)$ e la sua derivata è:

$x'(t) = \frac{d}{dt} A \cos (\omega t + \phi) = - A \omega \operatorname{\,sen}(\omega t + \phi) = A \omega \cos (\omega t + \phi + \pi /2)$

allora in termini di fasori:

$\mathbf Y = j \omega \mathbf X$

Leggi costitutive dei bipoli nel dominio dei fasori

Per approfondire, vedi la voce metodo simbolico.

Dato un circuito in regime sinusoidale isofrequenziale, le leggi costitutive dei bipoli R, L e C si trasformano. Il resistore, per il quale vale la legge

$v(t) = R i(t) \$

è descritto dal metodo simbolico come:

$\mathbf{V} = R \mathbf{I}$

Le ampiezze $|\mathbf V| = R \cdot |\mathbf I|$ e inoltre la tensione e la corrente che attraversano il resistore sono in fase: $\phi_v \equiv \phi_i$.
Per il Condensatore si ha

$i(t) = C \frac{dv(t)}{dt}$

ed usando la regola di derivazione si ottiene:

$\mathbf{I} = j \omega C \mathbf{V}$.

Le ampiezze $|\mathbf{I}| = \omega C |\mathbf V|$ e la corrente è in anticipo sulla tensione perché sfasata $\phi_i = \phi_v + \pi/2$.
Per l'Induttore si ha

$v(t) = L \frac{di(t)}{dt}$

e quindi

$\mathbf{V} = j \omega L \mathbf{I}$

Le ampiezze $|\mathbf{V}| = \omega L |\mathbf I|$ e la corrente è in ritardo sulla tensione perché $\phi_v = \phi_i + \pi/2$.

Voci correlate

• Trasformata di Steinmetz
• Metodo simbolico
• Regime sinusoidale
• Corrente alternata
• Circuito RLC
• Potenza (elettrotecnica)

Altri progetti

• Commons

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