Onda sinusoidale

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Grafico del seno (in rosso) e del coseno (in blu)

In fisica, un'onda sinusoidale è un'onda descritta matematicamente dalla funzione seno. Una sinusoide o curva sinusoidale è la curva rappresentata dal grafico del seno. Una sinusoide è analoga alla curva relativa alla funzione coseno, detta cosinusoide, sfasata di \pi /2 .

Definizione[modifica | modifica wikitesto]

Un'onda sinusoidale nella variabile x è una funzione della forma:

\begin{align}
y(x)&=A \, \mathrm{sen} \left(2\pi f x + \phi\right)\\
&=A \, \mathrm{sen} \left( {2\pi \over \tau} x + \phi \right)\\
&=A \, \mathrm{sen} \left(\omega x + \phi\right)\\
&=A \cos \left(2\pi f \, x + \phi'\right)\\
&=A \cos \left({2 \pi \over \tau} x + \phi' \right)\\
&=A \cos \left(\omega x + \phi'\right)
\end{align}

dove  A è l'ampiezza, mentre:

 \omega\ = 2 \pi f = {2 \pi \over \tau}

è la pulsazione (o velocità angolare, indica quanti periodi ci sono in un intervallo di 2\pi). Inoltre:

 f = {\omega \over 2 \pi} = {1 \over \tau}

è la frequenza, che indica quante volte in un'unità di tempo la funzione si ripete, e:

 \tau = \frac{1}{f} = \frac{2 \pi}{\omega}

è il periodo, con \phi oppure \phi'=\phi + \tfrac{3}{2}\pi la fase.

Il grafico di una tale classe di funzioni ed è compreso tra le rette y = A e y = - A.

Poiché si tratta di una funzione periodica, detto  \tau il periodo si ha:

y(x \pm \tau) = y(x)

Caratteristiche[modifica | modifica wikitesto]

Onda che può essere rappresentata da un semplice moto armonico. Secondo il teorema di Fourier ogni onda può essere scritta come sommatoria (eventualmente infinita) di semplici onde armoniche

Usando la formula di Eulero, un'onda sinusoidale può essere rappresentata come la parte reale della funzione:

f(\xi) = f_{\max} \, \Re{\left[\mathrm e^{i(\vec k \cdot \vec r + \omega t + \phi)}\right]}

dove \vec k è il vettore d'onda, che identifica la direzione di propagazione dell'onda al posto della velocità di propagazione. Il suo modulo è chiamato pulsazione spaziale, ed è legato alla lunghezza d'onda dalla relazione:

k = |\vec k| = \frac {2 \pi}{\lambda}

Lo scalare f_{\max} è l'ampiezza dell'onda, e rappresenta il massimo valore della grandezza rappresentativa dell'onda in un periodo. Il termine \phi rappresenta la fase iniziale dell'onda.

Le onde sinusoidali sono una soluzione particolare dell'equazione delle onde. L'onda è una funzione dello spazio e tempo, per cui un'onda monodimensionale associa ad ogni posizione spaziale x ed ad ogni tempo t un'ampiezza di oscillazione y attorno alla posizione di equilibrio:

y = f(x, t)\,

Sono possibili perciò due punti di vista:

  • Scegliendo di valutare la dimensione temporale (x è fissato), si esprime l'oscillazione y in dipendenza dal tempo t come y = f(t)\,.
  • Scegliendo di focalizzare l'attenzione sullo stato di un mezzo perturbato in un certo istante (\mathit{t} è fissato) si ha l'"istantanea" dell'onda, cioè la forma d'onda (il suo profilo al tempo fissato di osservazione). L'oscillazione y può essere espressa in funzione della posizione x come \mathit{y=f(x)}.

In entrambi i casi si può partire dalla dipendenza co-sinusoidale delle variabili nel moto armonico, ricavate considerando quest'ultimo come una opportuna proiezione di un moto circolare uniforme:

y = y_{\max} \cos(\omega t+\phi)

dove y_{\max} è l'ampiezza dell'oscillazione e \phi è la fase iniziale. Attribuendo a \phi un valore di 90 gradi si può passare da una forma in coseno ad una in seno, quindi le espressioni sono equivalenti. L'espressione è in y per attuare la "visualizzazione" dell'oscillazione lungo l'asse verticale del sistema coordinato.

Fissando la variabile x si ha:

y = y_{\max} \, \cos(\omega t+\phi) = y_{\max} \, \cos\left(\frac{2\pi}{\tau}t\right)

dove \tau è il periodo dell'onda. La fase iniziale è nulla, e se la perturbazione sul mezzo si propaga dall'inizio muovendosi con velocità di fase \mathit{v} allora essa raggiungerà un altro punto (a destra dell'origine) ad una certa distanza \mathit{x} dopo un tempo:

t1 = \frac{x}{v}

Ciò significa che il punto alla coordinata \mathit{x} avrà, al tempo t, uno spostamento verticale uguale a quello che aveva il punto iniziale t1 secondi prima. La propagazione è quindi descritta dall'espressione:

y = y_{\max} \, \cos\left[\frac{2\pi}{\tau}(t-t1)\right] = y_{\max} \, \cos\left[\frac{2\pi}{\tau}\left(t-\frac{x}{v}\right)\right]

Raccogliendo 2\pi si può passare ad una forma più comune che talvolta si trova sui testi:

y = y_{\max} \, \cos\left[2\pi \left(\frac{t}{\tau}-\frac{x}{\lambda}\right)\right]

Se si chiama numero d'onda k la quantità 2\pi /\lambda, e se la pulsazione è \omega, il rapporto già noto dallo studio del moto circolare  2\pi /\tau consente di pervenire formalmente all'equazione delle onde armoniche:

y = y_{\max} \, \cos(\omega t-kx)

Se all'espressione in coseno iniziale si fosse aggiunta una fase di 90° si sarebbe ottenuta un'espressione in seno negativo poiché \cos(\alpha+90) = \sin(-\alpha), e questo avrebbe portato a un'espressione sinusoidale con i segni interni invertiti, cioè y = y_{\max} \, \sin(kx-\omega t), che talvolta viene presentata sui testi.

Considerando il secondo caso dell'elenco sopra, ad un tempo fissato:

y = y_{\max} \, \cos(\omega t + \phi) = y_{\max} \, \cos\left(\frac{2\pi}{\tau}t \right) = y_{\max} \, \cos\left(\frac{2\pi}{\lambda}x\right)
Profilo di un'onda sinusoidale progressiva che varia nel tempo, y = \sin\left[2\pi\left(\frac{x}{2\pi} - \frac{t}{2\pi}\right)\right]

Si è espresso il tempo come t=x/v, sostituendo ed usando la relazione fondamentale delle onde \mathit{\lambda=v\tau} (la lunghezza d'onda è lo spazio percorso da un'onda con velocità di fase v in un periodo \tau): in ogni caso, quel che conta è che si ottiene una cosinusoide di periodo spaziale \lambda dipendente solo dalla posizione x. Se l'impulso si sta muovendo lungo l'asse delle ascisse, inducendo una oscillazione sulle ordinate, ad un certo istante successivo a quello fissato il punto alla certa coordinata x avrà una elevazione uguale a quella del punto x_0 da cui l'impulso è partito t secondi prima. L'onda si propaga quindi (verso destra) con un profilo dato da:

y = y_{\max} \, \cos\left[\frac{2\pi}{\lambda}(x-vt)\right]

mentre si sarebbe dovuta considerare una espressione in parentesi tonda del tipo (x+vt) se si fosse voluta descrivere la propagazione verso sinistra. Esprimendo \mathit{v=\frac{\lambda}{\tau}} e sostituendo, si ha l'espressione:

y = y_{\max} \, \cos \left[2\pi\left(\frac{x}{\lambda}-\frac{t}{\tau}\right)\right]

che considerando la relazione goniometrica \cos(-\alpha)=\cos \left(\alpha \right) è analoga a quella ottenuta in precedenza (perché si cambiano i segni dell'argomento).

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

  • (EN) M. Abramowitz, I.A. Stegun, "Handbook of mathematical functions" , Dover, reprint (1972) pp. §4.3

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

Collegamenti esterni[modifica | modifica wikitesto]

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