Moto armonico

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In fisica, il moto armonico è il particolare moto vario descritto da un oscillatore armonico, cioè un sistema meccanico che reagisce ad una perturbazione dall'equilibrio con una accelerazione di richiamo a_x=d^2x/dt^2 proporzionale allo spostamento subito x. La costante di proporzionalità è sempre negativa e si può quindi intendere, come qualsiasi numero reale negativo, come l'opposto di un quadrato di un altro numero costante \omega, detto pulsazione, così indicato in quanto dimensionalmente simile alla velocità angolare. Quindi l'equazione del moto di un oscillatore armonico è:

 \frac{d^2x}{dt^2} = - \omega^2 x

A livello dinamico, una possibile causa è la forza di Hooke:

 F_H = -k x \,

dove k è una costante positiva (detta modulo di Young) che risulta, tenendo conto del principio di proporzionalità di Newton dalla relazione:

k = m \omega^2

Se F_H è la sola forza agente, il sistema è detto oscillatore armonico semplice (o naturale) con equazione del moto pari a quella succitata: il moto armonico semplice presenta oscillazioni sinusoidali attorno al punto di equilibrio, con ampiezza e frequenza (detta naturale) costante.

Esempi meccanici di oscillatori armonici semplici sono il pendolo semplice (per piccoli angoli di oscillazione) ed una massa attaccata ad una molla. Analoghi sistemi fuori dalla meccanica includono i sistemi acustici vibranti, e gli oscillatori armonici elettrici tra cui i circuiti RLC.

Va ricordato che esistono altri tipi di oscillatori anarmonici o non lineari, tra cui riveste particolare importanza l'oscillatore di Van der Pol.

Moto armonico libero semplice[modifica | modifica sorgente]

Molla in moto: oscillatore armonico semplice

Il moto armonico libero semplice è detto anche moto armonico naturale: esso è una oscillazione sinusoidale con pulsazione \omega. Tale moto è periodico. La posizione di un corpo che oscilla secondo il moto armonico semplice, con l'origine del sistema di riferimento posizionata nel punto attorno al quale avviene l'oscillazione, può essere descritto attraverso una funzione sinusoidale di ampiezza e fase costanti:[1]

x(t) = A \sin\left(\omega t + \phi\right) (legge oraria per moto unidimensionale lungo l'asse x)

dove T=\frac{2 \pi}{\omega} è il periodo dell'oscillazione (ovvero l'intervallo di tempo tra due oscillazioni),[2] mentre A e \phi sono rispettivamente l'ampiezza dell'oscillazione e la costante di fase (che dipendono dalla posizione x (0) e velocità iniziale v_x(0) del moto).

La velocità e l'accelerazione sono rispettivamente la derivata prima e seconda della legge oraria, ovvero:[2]

 v_x(t) = \omega A cos \left( \omega t + \phi \right) (derivata prima della legge oraria)
 a_x(t) = -\omega^2 A sin \left( \omega t + \phi \right)= -\omega^2 x(t) (derivata seconda della legge oraria)

Le costanti A e \phi si determinano imponendo le condizioni iniziali e risolvendo il sistema di equazioni

 x(0) =  A \sin\phi\qquad v_x(0) =  A \omega \cos\phi

che ammette le soluzioni

 A^2 =  x(0)^2 + \frac{v_x(0)^2}{\omega^2} \qquad \tan\phi=\frac{x(0)\omega}{v_x(0)}.
Moto circolare e moto armonico

L'energia cinetica K del sistema all'istante t' è:

 K(t) = \frac{1}{2}m v_x(t)^2 = \frac{1}{2}m\omega^2 A^2\cos^2(\omega t + \phi) = \frac{1}{2}k A^2\cos^2(\omega t + \phi),

mentre l'energia potenziale si può scrivere come:

U(t) = \frac{1}{2}k x(t)^2 = \frac{1}{2}k A^2\sin^2(\omega t + \phi).

L'energia meccanica totale del sistema è perciò un integrale primo di moto, cioè una sua costante:

E = K + U =\frac{1}{2} k A^2.

Il moto armonico semplice può essere generalizzato componendolo in modo multidimensionale: in particolare risulta su una qualunque coppia di assi cartesiani compone il moto circolare uniforme nel piano:


\left\{
\begin{array}{l}
x=-{\frac{a_{x}}{\omega ^{2}}} \\
\quad \\
y=-{\frac{a_{y}}{\omega ^{2}}}
\end{array}
\right. \Rightarrow \left\{
\begin{array}{l}
x^{2}={\frac{a_{x}^{2}}{\omega ^{4}}} \\
\quad \\
y^{2}={\frac{a_{y}^{2}}{\omega ^{4}}}
\end{array}
\right. \Rightarrow r^{2}=x^{2}+y^{2}={\frac{a_{x}^{2}+a_{y}^{2}}{\omega ^{4}}}={\frac{a^{2}}{\omega ^{2}}}

Quest'ultima relazione vale appunto per un moto circolare uniforme (e non per un qualsiasi moto circolare).

Un'analoga dimostrazione che qui non presentiamo può essere fatta per generalizzare questo moto a tre dimensioni componendolo con tre moti armonici semplici sugli assi cartesiani dello spazio tridimensionale, e rendendo diversa tra loro l'ampiezza, col risultato di un moto ellittico.

Moto armonico libero smorzato[modifica | modifica sorgente]

Molla sottosmorzata

Il moto armonico libero smorzato è detto anche moto armonico ammortizzato. Nello studio di fenomeni fisici reali i corpi in movimento sono di solito soggetti a attriti, di solito direttamente proporzionali alla velocità F_S = c \frac{dx}{dt}.

Ponendo \omega_S = {c\over m} e \omega_N = \sqrt{k \over m}, abbiamo:

 \frac{d^2x}{dt^2} + \omega_S \frac{dx}{dt} + \omega_N ^2 x = 0

Per ottenere la soluzione di una equazione differenziale lineare è necessario prima di tutto risolvere l'equazione di secondo grado agli autovalori \lambda associata:

\lambda^2 + \omega_S \lambda + \omega_N ^2 = 0 \

ricavando il \Delta =\omega_S^2-4\omega_N^2

che fornisce le due radici (autovalori):

\lambda_1= - {\omega_S -\sqrt{\Delta}\over 2}= - {\omega_S\over 2}-{1\over 2}\sqrt{\omega_S^2-4\omega_N^2}
\lambda_2= - {\omega_S +\sqrt{\Delta}\over 2}= - {\omega_S\over 2}+{1\over 2}\sqrt{\omega_S^2-4\omega_N^2}

Si noti che entrambe le soluzioni hanno parte reale negativa.

Distinguiamo tre casi:

  • sottosmorzamento \Delta < 0
  • smorzamento critico \Delta = 0
  • sovrasmorzamento \Delta > 0


Sottosmorzamento \Delta < 0[modifica | modifica sorgente]

Legge oraria Oscillatore con smorzamento piccolo.svg

È il caso che si verifica se \omega_S<2\omega_N; il sistema riesce a compiere oscillazioni attorno alla posizione d'equilibrio x=0. In effetti in questo caso le radici \lambda_1 e \lambda_2 sono complesse (essendo l'argomento della radice negativo); ciò comporta che la soluzione dell'equazione differenziale contenga un termine con esponenziale complesso, il quale facendo uso dell'identità di Eulero rappresenta per un termine "oscillante". Il termine reale della radice, in quanto negativo, si occupa dello smorzamento dell'oscillazione.

Ponendo l'effettiva pulsazione \omega=\frac12\sqrt{4\omega_N^2-\omega_S^2} si ha come soluzione la legge oraria:

x(t)=e^{-{\omega_S\over 2} t}(A_1\cos\omega t+A_2\sin\omega t)

Quindi trattasi palesemente di un'oscillazione di frequenza \omega\over 2\pi, la cui ampiezza diminuisce esponenzialmente nel tempo: si veda anche il grafico.

Si noti ancora che la pulsazione di oscillazione nel caso di piccolo smorzamento è sempre inferiore alla pulsazione naturale, cioè alla quale oscillerebbe il sistema non influenzato dall'attrito viscoso. Questo ha d'altra parte un ovvio significato fisico: la presenza di viscosità rallenta continuamente il movimento dell'oscillatore.

Smorzamento critico \Delta = 0[modifica | modifica sorgente]

File-Legge oraria Oscillatore con smorzamento critico.svg

Si verifica quando \omega_S=2\omega_N; in tal caso poiché \lambda_1=\lambda_2 (che diremo semplicemente \lambda) la soluzione dell'equazione differenziale del moto fornisce la legge oraria:

x(t)=(A_1+A_2t)e^{-{\omega_S\over 2}t}

ed ancora una volta le costanti A_1 e A_2 vanno determinate dalle condizioni iniziali, in analogia col caso di sovrasmorzamento; la legge oraria diventa quindi, imponendo le opportune condizioni iniziali:

x(t)=\left(x_0+v_0 t+{\omega_S x_0 t\over 2}\right)e^{-{\omega_S\over 2}t}

Come si vede dalla figura il sistema, sebbene sia in grado di dare inizio alla prima oscillazione, la vede smorzarsi completandola solo all'infinito.

\lim_{t \to \infty}x=0

È un caso notevole poiché restituisce la massima velocità di smorzamento, e viene come tale utilizzata negli strumenti di misura analogici come i galvanometri.

Sovrasmorzamento \Delta > 0[modifica | modifica sorgente]

Legge oraria Oscillatore con smorzamento grande.svg

Si verifica quando \omega_S>2\omega_N; in tal caso la soluzione dell'equazione differenziale del moto fornisce la legge oraria:

x(t)=A_1 e^{-|\lambda_1|t}+A_2 e^{-|\lambda_2|t}

Le costanti A_1 e A_2 si determinano imponendo che la soluzione soddisfi le condizioni iniziali

x(0) = x_0 \

e

\dot x(0) = v_0

ovvero che all'istante iniziale il punto si trovi nella posizione di elongazione e con velocità pari a quelle iniziali note. Si ottiene:

A_1={v_0+x_0|\lambda_1|\over |\lambda_1|-|\lambda_2|}
A_2={-x_0|\lambda_2|-v_0\over |\lambda_1|-|\lambda_2|}

Dal punto di vista fisico questa soluzione indica che lo smorzamento viscoso è tanto alto da impedire qualunque oscillazione del punto attorno alla posizione di equilibrio x=0.

Moto armonico forzato semplice[modifica | modifica sorgente]

Il moto armonico forzato semplice è detto anche moto armonico risonante. Si vuole ora dimostrare come una accelerazione con variazione temporale sinusoidale ~a_F = a_{F0} \cos(\omega_F t) provochi un'oscillazione forzata. L'equazione del moto è quindi:

\ddot x=a_F + a_H= a_{F0}\cos(\omega_F t) -\omega_N^2 x \quad \rightarrow \quad \ddot x + \omega_N^2 x = a_{F0} \cos(\omega_F t)

L'ampiezza delle oscillazioni è determinata da:

A = \frac{a_{F0}}{\omega_N^2 - \omega_F^2}

La forzante influisce attraverso due parametri:

  • il cosiddetto spostamento statico, la variazione di ampiezza iniziale che sarebbe il solo se l'accelerazione fosse costantemente aF0:
A_N = \frac{a_{F0}}{\omega_N^2},
  • l'amplificazione dinamica, che rappresenta appunto l'incremento relativo subito dallo spostamento statico per effetto della variazione della forza nel tempo.

All'inizio il corpo mantiene la sua frequenza naturale di oscillazione \omega_N, ma viene progressivamente costretto a seguire la frequenza \omega_F imposta dalla forza esterna, e acquisisce quindi al ciclo limite ampiezza e legge oraria:

A_F = \frac{a_{F0}}{\omega_F^2},
x = A \cos (\omega_F t)

sostituendo nell'equazione del moto:

-A\omega_F^2 \cos(\omega_F t) + \omega_N^2 A\cos (\omega_F t) = a_{F0} \cos(\omega_F t)
Moto Armonico Forzato Curva di Risonanza.svg
-A\omega_F^2  + A\omega_N^2 = a_{F0}
A \left(\omega_N^2 - \omega_F^2 \right) = a_{F0} q.e.d.

Da questa relazione è evidente che esistono tre comportamenti anche per il moto forzato, stavolta in base al rapporto fra le frequenze.

Sottoforzamento[modifica | modifica sorgente]
  •  \omega_F \ll \omega_N \quad \Rightarrow \quad A \to A_F (risonanza armonica sfasata: distruttiva decrescente col rapporto)
Forzamento critico[modifica | modifica sorgente]
Sovraforzamento[modifica | modifica sorgente]
  • \omega_F \gg \omega_N \quad \Rightarrow \quad A \to 0 (risonanza armonica in fase: costruttiva crescente col rapporto)

Moto armonico forzato smorzato[modifica | modifica sorgente]

Il moto armonico forzato smorzato è anche detto moto armonico generico, poiché ne costituisce il caso più generale. Si tratta del caso visto nella sezione precedente con in aggiunta un termine oscillante che dipende sinusoidalmente dal tempo, e fornendo energia al sistema, si oppone al suo ritorno alla posizione di equilibrio x=0:

\ddot x+\omega_S\dot x+\omega_N^2 x={a_{0F}}\cos(\omega_F t)
Moto Armonico Forzato Curva di Sfasamento.svg

Ancora una volta facciamo riferimento alla teoria delle equazioni differenziali del second'ordine per la risoluzione: la seguente è la legge oraria dell'elongazione x:

x(t)=Ae^{-{\omega_S\over 2}t}\cos(\omega_S t+\phi)+B\cos(\omega_F t-\delta)

dove:

\delta=\arctan\left({\omega_S\omega_F\over\omega_N^2-\omega_F^2}\right)
B={a_0\over\sqrt{(\omega_N^2-\omega_F^2)^2+\gamma^2\omega_F^2}}

Si osservi che il moto totale è la somma dei due moti trattati precedentemente: uno oscillante smorzato con una certa pulsazione \omega_S ed uno forzato di ampiezza B e pulsazione \omega_F.
Il sistema ha dunque un transiente oscillante iniziale che svanisce esponenzialmente col tempo, lasciando il posto ad un'oscillazione pura ad ampiezza costante; questa oscillazione è determinata essenzialmente dalla forza esterna, e presenta uno sfasamento con essa. Se la resistenza viscosa \omega_S diventa sempre più piccola, l'ampiezza massima B_{max} aumenta sempre di più (tendendo all'infinito per \omega_S che tende a zero). Si parla allora di sfasamento.

La curva di sfasamento a destra (la curva della funzione \delta\left(\omega_f\right)) mostra che elongazione e accelerazione non sono mai in fase tranne nel caso degenere in cui \omega_F=0 cioè di moto armonico smorzato). Per \omega_F=\omega_N (in risonanza), l'elongazione si dice in quadratura di fase con la forza esterna.

Sistemi equivalenti[modifica | modifica sorgente]

Gli oscillatori armonici si manifestano in una vastità di aree fisiche: qui presentiamo una tavola che mostra le analogia tra quantità proprie di quattro oscillatori armonici meccanici ed elettronici. Perciò se presentano grandezze corrispondenti uguali allora uguali saranno anche i loro comportamenti, cioè frequenza risonante, fattore di smorzamento, ecc.

Meccanico traslazionale Meccanico rotazionale Circuito RLC in serie Circuito RLC in parallelo
Posizione x Angolo  \theta\,\! Carica q Tensione elettrica e
Velocità \frac{dx}{dt} Velocità angolare \frac{d\theta}{dt} Intensità di corrente \frac{dq}{dt} Variazione della tensione elettrica\frac{de}{dt}
Massa M Momento d'inerzia I Induttanza L Capacità elettrica C
Modulo di Young K Costante torsionale \mu Elastanza 1/C Suscettanza 1/L
coefficiente d'Attrito C_F coefficiente d'Attrito torsionale C_T Resistenza R Conduttanza 1/R
Forza guida F(t) Torsione guida \tau(t) Tensione elettrica e Variazione di corrente di/dt
Frequenza di risonanza non smorzata f_n:
\frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{K}{M}} \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{\mu}{I}} \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{1}{LC}} \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{1}{LC}}
Equazione differenziale:
M\ddot x + C_F\dot x + Kx = F I\ddot \theta + C_T\dot \theta + \mu \theta = \tau L\ddot q + R\dot q + q/C = e C\ddot e + \dot e/R + e/L = \dot i

Note[modifica | modifica sorgente]

  1. ^ Mazzoldi, op. cit., p. 18
  2. ^ a b Mazzoldi, op. cit., p. 19

Bibliografia[modifica | modifica sorgente]

Voci correlate[modifica | modifica sorgente]

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