Geometria differenziale delle curve

In matematica, la geometria differenziale delle curve usa il calcolo infinitesimale per studiare le curve nel piano, nello spazio, e più generalmente in uno spazio euclideo.

Definizioni

Definizioni di base

Per approfondire, vedi la voce curva (matematica).

Una curva è una funzione continua

$f:I\to \mathbb R^n$

dove I è un intervallo dei numeri reali, come ad esempio [0,1]; la variabile in questo intervallo in genere si denota con la lettera t e per la funzione si usa spesso la notazione f(t). In questa voce, supporremmo che f sia una funzione differenziabile sufficientemente regolare, ovvero una funzione che abbia derivate continue di un ordine sufficientemente alto; si chiede inoltre che la sua derivata prima f'(t) sia un vettore mai nullo su tutto l'intervallo I.

Per supporto di f si intende la immagine di tale funzione. Se f è iniettiva, la curva si dice semplice.

Lunghezza e parametrizzazione

Una riparametrizzazione di f è un'altra curva g tale che

$g = f \circ p$

dove $p:J \rightarrow I$ è una biiezione differenziabile con derivata sempre positiva (e quindi crescente) e J è un intervallo dei reali che potrebbe coincidere con I. In questo caso le curve f e g, benché descritte con parametrizzazioni diverse, sono intese come equivalenti.

La lunghezza di una curva f definita su un intervallo chiuso I = [a,b] è fornita da

$L = \int_a^b \vert f'(t) \vert dt$

La lunghezza di una curva non cambia se essa viene riparametrizzata. Consideriamo che l'intervallo di definizione della curva sia della forma [0,T] e pensiamo che la variabile t esprima il tempo per un corpo puntiforme P che percorra la curva nell'intervallo temporale da 0 a T; abbiamo quindi un modello cinematico della curva. Si puo` quindi dire che la lunghezza della curva percorsa dal corpuscolo dall'istante 0 all'istante t è

$s(t) = \int_a^t \vert f'(u) \vert du.$

La funzione sempre crescente s(t) stabilisce una biiezione tra gli intervalli [0,T] e [0,L] e porta ad una riparametrizzazione della curva: scrivendo

$f(t) ~=~ f_0 (s(t))$

si ottiene la cosiddetta parametrizzazione secondo la lunghezza d'arco f₀ della curva. Questa parametrizzazione, in termini cinematici, si legge come il moto di un corpo puntiforme che percorre la curva con velocità costante pari a 1:

$\vert f_0'(s(t)) \vert = 1 \qquad (\forall t \in I)$

Questa parametrizzazione della curva è l'unica che presenta la velocità costantemente uguale ad 1. Benché sia spesso difficile da calcolare, essa è utile per dimostrare agevolmente alcuni teoremi.

Sistema di Frenet

Un sistema di Frenet è un sistema di riferimento mobile di n vettori ortonormali

$e_1(t), \ldots, e_n(t)\,\!$

dipendenti da t, utili per descrivere il comportamento locale della curva in f(t).

Per definire il sistema di Frenet è necessario supporre che la curva sia regolare, cioè che le derivate

$f'(t), f''(t), \ldots, f^{(n)}(t)\,\!$

siano linearmente indipendenti, e quindi formino una base. In questo caso, il sistema di Frenet è definito a partire da questa base tramite il procedimento di ortonormalizzazione di Gram-Schmidt.

Le curvature generalizzate sono definite come

$\chi_i(t) = \frac{\langle \mathbf{e}_i'(t), \mathbf{e}_{i+1}(t) \rangle}{| f'(t) |}.$

Il sistema di Frenet e le curvature generalizzate non dipendono dalla parametrizzazione scelta.

In due dimensioni

Il cerchio osculatore

Nel piano, il primo vettore di Frenet e₁(t) è la tangente alla curva al tempo t, mentre il vettore e₂(t), detto vettore normale è il vettore normale a e₁(t), nella direzione in cui curva. La curvatura

κ(t) = χ₁(t)

indica lo spostamento della curva dalla linea retta tangente. Il reciproco

$\frac{1}{\kappa(t)}$

è chiamato raggio di curvatura. Ad esempio, una circonferenza di raggio r ha curvatura costante 1 / r, mentre una linea retta ha curvatura nulla.

Il cerchio osculatore è il cerchio tangente a e₁(t) e di raggio 1 / κ. Il cerchio osculatore approssima la curva intorno al tempo t "fino al secondo ordine": ha cioè le stesse derivate prima e seconda di f nel punto.

In tre dimensioni

Un sistema di Frenet in tre dimensioni e il relativo piano osculatore evidenziato

Nello spazio tridimensionale i vettori di Frenet e le curvature hanno dei nomi specifici.

Vettore tangente

Il primo vettore di Frenet e₁ è il vettore tangente, definito quindi come

$\mathbf{e}_{1}(t) = \frac{ f'(t) }{ | f'(t) |}.$

Se f è parametrizzato secondo la lunghezza d'arco, questo si riduce semplicemente a

$\mathbf{e}_{1}(t) = f'(t).$

Versore normale

Il versore normale misura quanto la curva differisce da una linea retta, ed è il secondo vettore di Frenet, definito quindi come

$\mathbf{e}_2(t) = \frac{\overline{\mathbf{e}_2}(t)} {| \overline{\mathbf{e}_2}(t) |} \mbox{, } \quad \overline{\mathbf{e}_2}(t) = f''(t) - \langle f''(t), \mathbf{e}_1(t) \rangle \, \mathbf{e}_1(t).$

I vettori tangente e normale generano un piano, chiamato piano osculatore della curva al punto t.

Curvatura

La prima curvatura generalizzata χ₁(t) è chiamata semplicemente curvatura di f in t, ed è data da

$\kappa(t) = \chi_1(t) = \frac{\langle \mathbf{e}_1'(t), \mathbf{e}_2(t) \rangle}{| f^'(t) |}.$

Il reciproco della curvatura

$\frac{1}{\kappa(t)}$

è il raggio di curvatura nel punto t.

Vettore binormale

Il vettore binormale è il terzo vettore di Frenet e₃(t): è ortogonale al piano osculatore, definito con il prodotto vettoriale semplicemente come

$\mathbf{e}_3(t) = \mathbf{e}_1(t) \times \mathbf{e}_2(t).$

Torsione

La seconda curvatura generalizzata χ₂(t) è chiamata torsione e misura quanto la curva esce dal piano osculatore. Quindi una curva ha torsione nulla se e solo se è una curva piana.

$\tau(t) = \chi_2(t) = \frac{\langle \mathbf{e}_2'(t), \mathbf{e}_3(t) \rangle}{| f'(t) |}.$

Formule di Frenet-Serret

Le formule di Frenet-Serret sono delle equazioni differenziali ordinarie del I ordine, la cui soluzione è il sistema di Frenet che descrive la curva. I coefficienti dell'equazione differenziale sono dati dalle curvature generalizzate χ_i.

2 dimensioni

$\begin{bmatrix} \mathbf{e}_1'(t)\\ \mathbf{e}_2'(t) \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & \kappa(t) \\ -\kappa(t) & 0 \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \mathbf{e}_1(t)\\ \mathbf{e}_2(t) \\ \end{bmatrix}$

3 dimensioni

$\begin{bmatrix} \mathbf{e}_1'(t) \\ \mathbf{e}_2'(t) \\ \mathbf{e}_3'(t) \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & \kappa(t) & 0 \\ -\kappa(t) & 0 & \tau(t) \\ 0 & -\tau(t) & 0 \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \mathbf{e}_1(t) \\ \mathbf{e}_2(t) \\ \mathbf{e}_3(t) \\ \end{bmatrix}$

n dimensioni (formula generale)

$\begin{bmatrix} \mathbf{e}_1'(t)\\ \vdots \\ \mathbf{e}_n'(t) \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & \chi_1(t) & & 0 \\ -\chi_1(t) & \ddots & \ddots & \\ & \ddots & 0 & \chi_{n-1}(t) \\ 0 & & -\chi_{n-1}(t) & 0 \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \mathbf{e}_1(t) \\ \vdots \\ \mathbf{e}_n(t) \\ \end{bmatrix}$

Proprietà delle curvature

Le curvature determinano la curva. Formalmente, date n funzioni

$\chi_i:[a,b] \to \mathbb R^n, \ i= 1,\ldots,n$

sufficientemente differenziabili, con

$\chi_i(t) > 0 \mbox{, } 1 \leq i \leq n-1$

esiste un'unica curva f avente quelle curvature, a meno di traslazioni ed altre isometrie dello spazio euclideo.

Voci correlate

• Curva
• Geodetica
• Sistema di riferimento
• Geometria differenziale
• Problemi di misura (Geometria descrittiva)

Bibliografia

• E. Cesàro Lezioni di geometria intrinseca (1896)

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