Trasformazione binomiale

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In matematica, la trasformazione binomiale è una trasformazione di una successione tramite differenze finite. Le trasformazioni binomiali sono strettamente legate alla somma di Eulero.

Descrizione[modifica | modifica wikitesto]

La trasformazione binomiale di una successione \{a_n\} è la successione \{s_n\} definita come:

s_n = \sum_{k=0}^n (-1)^k {n\choose k} a_k

Formalmente si può scrivere (Ta)_n = s_n, dove T è un operatore definito su un opportuno spazio di successioni con matrice infinita \{T_{nk}\}:

s_n = (Ta)_n = \sum_{k=0}^\infty T_{nk} a_k

La trasformazione è un'involuzione, vale a dire:

TT = 1

o equivalentemente:

\sum_{k=0}^\infty T_{nk}T_{km} = \delta_{nm}

dove \delta è il delta di Kronecker. La successione originale si ritrova dunque tramite la stessa formula:

a_n=\sum_{k=0}^n (-1)^k {n\choose k} s_k

I primi termini della successione trasformata sono i seguenti:

s_0 = a_0
s_1 = - (\triangle a)_0 = -a_1+a_0
s_2 = (\triangle^2 a)_0 = -(-a_2+a_1)+(-a_1+a_0) = a_2-2a_1+a_0
\dots
s_n = (-1)^n (\triangle^n a)_0

dove \Delta è l'operatore di differenza finita in avanti. Alcuni studiosi definiscono la trasformazione binomiale con un altro segno:

t_n=\sum_{k=0}^n (-1)^{n-k} {n\choose k} a_k

In questo modo essa non è più involutoria; la sua inversa invece è:

a_n=\sum_{k=0}^n {n\choose k} t_k

Operatore di Shift[modifica | modifica wikitesto]

La trasformazione binomiale è l'operatore di shift per i numeri di Bell:

B_{n+1}=\sum_{k=0}^n {n\choose k} B_k

dove B_n sono i numeri di Bell.

Funzione generatrice[modifica | modifica wikitesto]

La trasformazione connette funzioni generatrici associate alla serie. Per la funzione generatrice ordinaria, sia:

f(x)=\sum_{n=0}^\infty a_n x^n

e:

g(x)=\sum_{n=0}^\infty s_n x^n

allora:

g(x) = (Tf)(x) = \frac{1}{1-x} f\left(\frac{x}{x-1}\right)

Generalizzazione[modifica | modifica wikitesto]

Si può definire un'altra trasformazione ponendo:

u_n = \sum_{k=0}^n {n\choose k} a^k (-c)^{n-k} b_k

che fornisce:

U(x) = \frac{1}{cx+1} B\left(\frac{ax}{cx+1}\right)

dove U e B sono le ordinarie funzioni generatrici associate alle serie \{u_n\} e \{b_n\} rispettivamente. Nel caso in cui la trasformazione binomiale sia definita come:

\sum_{i=0}^n(-1)^{n-i}\binom{n}{i}a_i=b_n

Si ponga questa somma uguale alla funzione \mathfrak J(a)_n=b_n. Considerando una nuova tabella delle differenze all'indietro, se si prendono i primi elmenti di ogni riga per formare una nuova successione \{b_n\} allora la trasformazione binomiale seconda della successione originale è:

\mathfrak J^2(a)_n=\sum_{i=0}^n(-2)^{n-i}\binom{n}{i}a_i

Ripetendo questo procedimento k volte segue che:

\mathfrak J^k(a)_n=b_n=\sum_{i=0}^n(-k)^{n-i}\binom{n}{i}a_i

il cui inverso è:

\mathfrak J^{-k}(b)_n=a_n=\sum_{i=0}^nk^{n-i}\binom{n}{i}b_i

Si può generalizzare ciò come:

\mathfrak J^k(a)_n=b_n=(\mathbf E-k)^na_0

dove \mathbf E è l'operatore di shift. Il suo inverso è:

\mathfrak J^{-k}(b)_n=a_n=(\mathbf E+k)^nb_0

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

Collegamenti esterni[modifica | modifica wikitesto]

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