Trasformazione binomiale

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In matematica, la trasformazione binomiale è una trasformazione di una successione tramite differenze finite. Le trasformazioni binomiali sono strettamente legate alla somma di Eulero.

La trasformazione binomiale di una successione \{a_n\} è la successione \{s_n\} definita come:

s_n = \sum_{k=0}^n (-1)^k {n\choose k} a_k.

Formalmente si può scrivere (Ta)_n = s_n, dove T è un operatore definito su un opportuno spazio di successioni con matrice infinita \{T_{nk}\}:

s_n = (Ta)_n = \sum_{k=0}^\infty T_{nk} a_k.

La trasformazione è un'involuzione, vale a dire:

TT = 1

o equivalentemente,

\sum_{k=0}^\infty T_{nk}T_{km} = \delta_{nm},

dove δ è il delta di Kronecker. La successione originale si ritrova dunque tramite la stessa formula:

a_n=\sum_{k=0}^n (-1)^k {n\choose k} s_k.

I primi termini della successione trasformata sono i seguenti:

s_0 = a_0
s_1 = - (\triangle a)_0 = -a_1+a_0
s_2 = (\triangle^2 a)_0 = -(-a_2+a_1)+(-a_1+a_0) = a_2-2a_1+a_0
\dots
s_n = (-1)^n (\triangle^n a)_0

dove Δ è l'operatore di differenza finita in avanti.

Alcuni studiosi definiscono la trasformazione binomiale con un altro segno:

t_n=\sum_{k=0}^n (-1)^{n-k} {n\choose k} a_k,

In questo modo essa non è più involutoria; la sua inversa invece è:

a_n=\sum_{k=0}^n {n\choose k} t_k.

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