Trasformazione binomiale

In matematica, la trasformazione binomiale è una trasformazione di una successione tramite differenze finite. Le trasformazioni binomiali sono strettamente legate alla somma di Eulero.

La trasformazione binomiale di una successione $\{a_n\}$ è la successione $\{s_n\}$ definita come:

$s_n = \sum_{k=0}^n (-1)^k {n\choose k} a_k.$

Formalmente si può scrivere $(Ta)_n = s_n$, dove T è un operatore definito su un opportuno spazio di successioni con matrice infinita $\{T_{nk}\}$:

$s_n = (Ta)_n = \sum_{k=0}^\infty T_{nk} a_k.$

La trasformazione è un'involuzione, vale a dire:

$TT = 1$

o equivalentemente,

$\sum_{k=0}^\infty T_{nk}T_{km} = \delta_{nm}$,

dove δ è il delta di Kronecker. La successione originale si ritrova dunque tramite la stessa formula:

$a_n=\sum_{k=0}^n (-1)^k {n\choose k} s_k.$

I primi termini della successione trasformata sono i seguenti:

$s_0 = a_0$

$s_1 = - (\triangle a)_0 = -a_1+a_0$

$s_2 = (\triangle^2 a)_0 = -(-a_2+a_1)+(-a_1+a_0) = a_2-2a_1+a_0$

$\dots$

$s_n = (-1)^n (\triangle^n a)_0$

dove Δ è l'operatore di differenza finita in avanti.

Alcuni studiosi definiscono la trasformazione binomiale con un altro segno:

$t_n=\sum_{k=0}^n (-1)^{n-k} {n\choose k} a_k$,

In questo modo essa non è più involutoria; la sua inversa invece è:

$a_n=\sum_{k=0}^n {n\choose k} t_k.$

Collegamenti esterni

• Trasformazione binomiale

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