Serie di Mercator

In matematica per serie di Mercator o serie di Newton-Mercator si intende la serie di Taylor della funzione logaritmo naturale. Essa è data da

$\ln(1+x)=\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}}{n} x^n = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} + \ldots$ ,

espressione valida per $-1 < x \le 1$.

Cenno storico

Questa serie è stata scoperta indipendentemente da Isaac Newton, Nicolaus Mercator e Grégoire de Saint-Vincent. Essa è stata pubblicata per la prima volta nel 1668 nel trattato Logarithmo-technica di Mercator.

Derivazione

La serie può essere ricavata differenziando ripetutamente la funzione logaritmo naturale iniziando con

$\frac{d}{dx} \ln x = \frac{1}{x}$ .

In alternativa, si può partire con l'uguaglianza (la serie geometrica):

$1 + t + t^2 + \ldots + t^{n-1} = \frac{1 - t^n}{1-t} \quad |t| < 1$

la quale fornisce, in ragione $-1< -t < 1\,$ e per $n \to \infty$:

$\frac{1}{1+t} = 1 - t + t^2 - t^3 + \cdots$.

Integriamo i membri da 0 a x:

$\int_0^x \frac{dt}{1+t} = \int_0^x (1 - t + t^2 - t^3 + \cdots) \, dt$

e svolgiamo questi integrali: il primo vale immediatamente

$\int_0^x \frac{dt}{1+t} =\int_0^x \frac{(1+t)^{\prime}}{1+t} \, dt = \ln {(x+1)}$;

per il secondo, dato che la serie converge uniformemente per |x|<1, possiamo integrare termine a termine:

$\int_{0}^{x} { (1 - t + t ^ 2 - t ^ 3 + \cdots) \, dt } = \int_{0}^{x}{ dt } \ - \ \int_{0}^{x}{ t dt } \ + \ \int_{0}^{x}{ t^2 dt } \ - \ \int_{0}^{x}{ t^3 dt} \ + \ \cdots = x\ - \ \frac{x^2}{2} \ +\ \frac{x^3}{3} \ - \ \frac{x^4}{4} \ +\ \cdots$

Quindi abbiamo ottenuto:

$x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} + \cdots = \sum_{k=1}^{\infty}{\frac{(-1)^{k-1} x^k }{k}} = \ln(1+x) \quad \mbox{ per } |x| < 1$ .

Caso particolare

Ponendo $x = 1$, la serie di Mercator si riduce alla cosiddetta serie armonica a segni alterni

$\sum_{k = 1}^\infty \frac{(-1)^{k + 1}}{k} = \ln 2$ .

Si verifica infatti che la serie $\sum_{k=1}^{\infty}{\frac{(-1)^{k-1} x^k }{k}}$ converge uniformemente anche nel punto $x=1$ (per il criterio di Leibniz), e pertanto, essendo somma di funzioni continue in quel punto (polinomi), è ivi continua. Allora la serie e la funzione $\ln{(1+x)}$ ammettono lo stesso limite per $x \rightarrow 1^{-}$, cioè:

$\lim_{x \to 1^{-}}{\sum_{k=1}^{\infty}{\frac{(-1)^{k-1} x^k }{k}}} = \lim_{x \to 1^{-}}{\ln{(1+x)}} = \ln{2}$,

Questa si può considerare anche caso particolare relativo a z = 1 della funzione eta di Dirichlet η(z).

Bibliografia

• (EN) Mercator Series in MathWorld
• (SV) Eriksson, Larsson, Wahde (2002): Matematisk analys med tillämpningar, part 3, Goteborg, p. 10.

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