Polilogaritmo

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In matematica, il polilogaritmo è una funzione speciale che generalizza il logaritmo. Dato un numero complesso, si definisce la funzione polilogaritmo di ordine s e argomento (complesso) z la serie di potenze

\operatorname{Li}_s(z)=\sum_{k=1}^\infty \frac{z^k}{k^s}=z+\frac{z^2}{2^s}+\frac{z^3}{3^s}+\dots

se per ogni z\in \mathbb{C} tale che |z|<1. Essa può essere estesa a una funzione definita su tutto \mathbb{C} tramite il prolungamento analitico.

Per s=1 il polilogaritmo coincide col classico logaritmo

\operatorname{Li}_1(z)=\sum_{k=1}^\infty \frac{z^k}{k}=-\ln(1-z)

Per s=2 il polilogaritmo è anche chiamato dilogaritmo e per s=3 trilogaritmo. Per valori di s interi non positivi il polilogaritmo è una funzione razionale.

Il nome deriva dal fatto che il polilogaritmo può essere definito mediante la ripetizione dell'integrale


\operatorname{Li}_{s+1}(z) = \int_0^z \frac {\operatorname{Li}_s(t)}{t}\,\mathrm{d}t \,;

quindi il dilogaritmo è l'integrale del logaritmo e così via.

Proprietà[modifica | modifica sorgente]

Una formula importante dovuta a Eulero è

\frac{\pi^2}{6}-\ln(z)\ln(1-z)=\operatorname{Li}_2(z)+\operatorname{Li}_2(1-z)

per z \in [0,1] essa permette di trovare il valore del dilogaritmo di un mezzo

\operatorname{Li}_2(1/2)=\frac{\pi^2}{12}-\frac{\ln^2(2)}{2}

L'integrale di Spence è un caso particolare del dilogaritmo. Esistono anche relazioni del dilogaritmo con le funzioni di Debye (vedi Abramowitz e Stegun).

Casi particolari[modifica | modifica sorgente]

\operatorname{Li}_{1}(z)  = -\ln(1-z)
\operatorname{Li}_{0}(z)  = {z \over 1-z}
\operatorname{Li}_{-1}(z) = {z \over (1-z)^2}
\operatorname{Li}_{-2}(z) = {z \,(1+z) \over (1-z)^3}
\operatorname{Li}_{-3}(z) = {z \,(1+4z+z^2) \over (1-z)^4}
\operatorname{Li}_{-4}(z) = {z \,(1+z) (1+10z+z^2) \over (1-z)^5} \,.


Galleria[modifica | modifica sorgente]

Bibliografia[modifica | modifica sorgente]

  • Jonquière, A. Note sur la série \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{n^s}. Bulletin de la Société Mathématique de France, 17 (1889), p. 142-152
  • Lewin, L. Dilogarithms and Associated Functions. London: Macdonald, 1958.
  • Lewin, L. Polylogarithms and Associated Functions. New York: North-Holland, 1981.
  • Erdélyi, A.; Magnus, W.; Oberhettinger, F.; and Tricomi, F. G. Higher Transcendental Functions, Vol. 1. New York: Krieger, pp. 30-31, 1981.
  • Abramowitz, M. e Stegun, I. Handbook of Mathematical Functions. p. 1004 New York, Dover, 1972.

Voci correlate[modifica | modifica sorgente]

Collegamenti esterni[modifica | modifica sorgente]


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