Polilogaritmo

Il polilogaritmo è una funzione speciale che generalizza il logaritmo. È definita sui numeri complessi n e z, con |z|<1, come:

$Li_n(z)=\sum_{k=1}^\infty \frac{z^k}{k^n}$

per $n=2$ a volte è anche chiamata dilogaritmo e per $n=3$ trilogaritmo.

Una formula importante dovuta a Eulero è

$\frac{\pi^2}{6}-\ln(z)\ln(1-z)=Li_2(z)+Li_2(1-z)$

per $z \in [0,1]$ essa permette di trovare il valore del dilogaritmo di un mezzo

$Li_2(1/2)=\frac{\pi^2}{12}-\frac{\ln^2(2)}{2}$

L'integrale di Spence è un caso particolare del dilogaritmo. Esistono anche relazioni del dilogaritmo con le funzioni di Debye (vedi Abramowitz e Stegun).

Galleria

• 

  $\operatorname{Li}_{-3}(z)$

• 

  $\operatorname{Li}_{-2}(z)$

• 

  $\operatorname{Li}_{-1}(z)$

• 

  $\operatorname{Li}_0(z)$

• 

  $\operatorname{Li}_1(z)$

• 

  $\operatorname{Li}_2(z)$

• 

  $\operatorname{Li}_3(z)$

Bibliografia

• Jonquière, A. Note sur la série $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{n^s}$. Bulletin de la Société Mathématique de France, 17 (1889), p. 142-152
• Lewin, L. Dilogarithms and Associated Functions. London: Macdonald, 1958.
• Lewin, L. Polylogarithms and Associated Functions. New York: North-Holland, 1981.
• Erdélyi, A.; Magnus, W.; Oberhettinger, F.; and Tricomi, F. G. Higher Transcendental Functions, Vol. 1. New York: Krieger, pp. 30-31, 1981.
• Abramowitz, M. e Stegun, I. Handbook of Mathematical Functions. p. 1004 New York, Dover, 1972.

Collegamenti esterni

• Wolfram function site
  • Dilogaritmo
  • Polilogaritmo
• Wolfram Mathworld polilogaritmo

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