Logaritmo integrale

Il logaritmo integrale è una funzione matematica molto utile nella teoria analitica dei numeri. Per $x \ne 1$ esso è definito come:

${\rm li} (x) = \int_0^x \frac{1}{\ln(y)}\,dy.$

dove $\ln(x)$ è il logaritmo naturale di x e con l'integrale si intende il valore principale

${\rm li} (x) = \lim_{\varepsilon \to 0+} \left( \int_0^{1-\varepsilon} \frac{dy}{\ln (y)} + \int_{1+\varepsilon}^x \frac{dy}{\ln (y)} \right). \;$

Spesso si usa però la versione

${\rm Li}(x):={\rm li }(x) - {\rm li(2)} = \int_2^x \frac{1}{\ln(y)}\,dy.$

che evita la singolarità nel dominio di integrazione.

Teoria dei numeri

Il logaritmo integrale ha un ruolo molto importante in teoria dei numeri; infatti, il teorema dei numeri primi afferma che

$\pi(x)\sim {\rm Li} (x),$

dove $\pi(x)$ è la funzione enumerativa dei primi, ovvero la funzione che indica il numero di numeri primi minori di x.

Voci correlate

• Costante di Ramanujan-Soldner

Portale Matematica: accedi alle voci di Wikipedia che trattano di matematica