Logaritmo integrale

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Grafico della funzione logaritmo integrale nell'intervallo da 0 a 5.

Il logaritmo integrale, detto anche funzione logaritmica integrale, è una funzione matematica molto utile nella teoria analitica dei numeri.

Per x \ne 1 esso è definito come:

{\rm li} (x) = \int_0^x \frac{1}{\ln(y)}\,dy.

dove \ln(x) è il logaritmo naturale di x e con l'integrale si intende il valore principale

 {\rm li} (x) = \lim_{\varepsilon \to 0+} \left( \int_0^{1-\varepsilon} \frac{dy}{\ln (y)} + \int_{1+\varepsilon}^x \frac{dy}{\ln (y)} \right). \;

La funzione li(x) ha un solo zero positivo, che si presenta a x ≈ 1,45136 92348 ...; tale numero è noto come costante di Ramanujan-Soldner.

Spesso si usa perciò, per evitare la singolarità nel domino di integrazione, la versione

{\rm Li}(x) = {\rm li }(x) - {\rm li(2)} = \int_2^x \frac{1}{\ln(y)}\,dy.

Teoria dei numeri[modifica | modifica wikitesto]

Il logaritmo integrale ha un ruolo molto importante nella teoria dei numeri; infatti, il teorema dei numeri primi afferma che

\pi(x)\sim {\rm Li} (x),

dove \pi(x) è la funzione enumerativa dei primi, ovvero la funzione che indica il numero di numeri primi minori di x. In pratica la formula può essere usata per avere una buona approssimazione del numero di primi inferiori o uguali a x. Il valore di Li(x) rimane superiore a π (x) fino a numeri estremamente grandi, tanto che molti matematici pensavano che dovesse rimanere sempre superiore. Nel 1914 però Littlewood dimostrò che la differenza Li(x) – π(x), pur rimanendo positiva fino a numeri estremamente grandi, in seguito cambia di segno infinite volte, per cui esistono infiniti valori di x per i quali π(x) è maggiore di Li(x).

Nel 1933 il matematico sudafricano Stanley Skewes dimostrò un limite superiore per il più piccolo di tali valori. Assumendo che l'ipotesi di Riemann sia vera, egli valutò tale limite in circa 10^{10^{10^{34}}}. In seguito questo limite, immensamente grande, è stato notevolmente abbassato, e attualmente è di 1,39 x 10316 (C. Bay & R.H. Hudson, 2000).[1]

Note[modifica | modifica wikitesto]

  1. ^ A new bound for the smallest x with π(x) > li(x)

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

Collegamenti esterni[modifica | modifica wikitesto]

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