Scala logaritmica

In matematica, la scala logaritmica è una rappresentazione grafica dei numeri reali positivi.

Costruzione

Associamo ai punti di una semiretta i numeri reali positivi maggiori o uguali a 1 in questo modo: se P è il punto che rappresenta il numero x, e O è l’origine della semiretta, la lunghezza del segmento OP (che d’ora in poi indichiamo con λ(OP) ) sia proporzionale a $log_{10} x$, dove il logaritmo si intende in base 10. Questa rappresentazione geometrica dei numeri reali positivi si chiama scala logaritmica. Il punto O rappresenterà ovviamente il numero 1, infatti, indicando con $x$ il numero rappresentato, abbiamo $OO=\lambda(OO)=0=log_{10}(x) \Leftrightarrow x=10^0=1$

Come sono disposte le prime potenze di 10 su una scala logaritmica. Si noti che la distanza 0-10 è la stessa della distanza 10-100

Un'altra scala, a maggiore risoluzione, con alcuni interi. Si può notare che gli intervalli 10-20 e 10-30 sono equivalenti rispettivamente a quelli 1-2 e 1-3

Applicazioni della scala logaritmica

Si verifica subito che, se P e Q rappresentano rispettivamente i numeri x e xy, si ha:

$\lambda (PQ) = \lambda (OQ) - \lambda (OP) = k \log xy - k \log x = k \log y$

Su una semiretta numerata in scala logaritmica, quindi, possiamo eseguire il prodotto tra x e y costruendo, a partire dal punto che rappresenta x, un segmento equivalente a quello che rappresenta y, che avrà come altro estremo il punto che rappresenta xy. Questa caratteristica della scala logaritmica costituisce il principio di funzionamento del Regolo calcolatore.

Si osservi che, se P, Q e R rappresentano rispettivamente x, y e $\sqrt xy$, si ha:

$[\lambda(OP) + \lambda(OQ)]/2 = [k(\log x) + k (\log y)]/2 = k \log \sqrt {xy} = \lambda(OR)$

La media aritmetica tra λ(OP) e λ(OQ) individua cioè, sulla semiretta in scala logaritmica, la media geometrica tra x e y.

In molti casi la scelta di una scala logaritmica è quella più naturale. Ciò può avere essenzialmente due motivazioni:

• motivi di comodità grafica, ad esempio nello studio di una variabile che è funzione di un insieme molto ampio di grandezze ordinate, in particolare nel caso in cui non sono tanto le sue variazioni assolute a interessarci, ma quelle relative;
• ragioni intrinseche, ad esempio nello studio della percezione di alcune grandezze fisiche; un caso importante è dato dalla definizione dell’ampiezza di un intervallo tra due suoni. L’esperienza mostra infatti che la definizione che corrisponde meglio alle ampiezze percepite è quella che si basa non sulla differenza delle frequenze dei due suoni, ma sul loro rapporto. Ne consegue che la disposizione più naturale delle frequenze è quella in scala logaritmica. Un altro esempio analogo è dato dalla percezione di ciò che comunemente si chiama intensità di un suono, cioè del livello di pressione sonora, la cui unità di misura è ancora una volta definita in maniera logaritmica.

Voci correlate

• Scala di rappresentazione
• Logaritmo
• Regolo calcolatore
• Acustica
• Bel
• Legge di Weber-Fechner

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