Regola della funzione inversa

In analisi matematica, la regola della funzione inversa è una regola di derivazione che permette di calcolare la derivata della funzione inversa di una funzione derivabile, quando essa esiste, anche senza conoscerne l'equazione.

Definizione

La derivata della funzione inversa è il reciproco della derivata della funzione calcolata nella controimmagine del punto:

$D[f^{-1}(y)] = {1 \over f'(x)}$

D[f(x)] e f'(x) sono notazioni che indicano il medesimo significato di derivata.

È sufficiente, per l'esistenza della funzione inversa, che la funzione sia strettamente monotona e continua nel suo dominio (questo automaticamente assicura che il denominatore sia non nullo e quindi che l'espressione sia ben definita).

Dimostrazione

Poniamo $y=f(x)$, $y_0=f(x_0)$ per semplicità. Allora:

$D[f^{-1}(y_0)]=\lim_{y \to y_0}{f^{-1}(y)-f^{-1}(y_0) \over y - y_0}=\lim_{x \to x_0}{x - x_0 \over f(x) - f(x_0)} = {1 \over f'(x_0)}$.

Esempio

Sia $f(x)=\tan(x)$, con $|x| < {\pi \over 2}$. Dunque $f^{-1}(y)=\arctan(y)$ e

$D[\arctan(y)]={1 \over D[\tan(x)]}= {1 \over 1 + (\tan x)^2} = {1 \over 1 + y^2}$.

Voci correlate

• Regole di derivazione

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