Discussione:Regola della funzione inversa

c'è qualcosa che non mi torna dopo la definizione. nell'immagine scritta in "matematichese" forse è confusa una "x" con una "y"???

confrontare con questo link http://planetmath.org/encyclopedia/DerivativeOfInverseFunction.html

E' tutto giusto, ho solo modificato due x in y per rendere la formula più conforme alla dimostrazione. Inoltre, ho aggiunto qualche chiarimento. --Startrek Leonardo (msg) 12:37, 30 lug 2008 (CEST)

Necessità della continuità della funzione inversa in y°

Sarebbe di aiuto conoscere l'esempio che mostra la necessità della continuità della funzione inversa in y°. Su tale questione la letteratura spesso non è limpida o non tratta il caso di continuità puntuale. Grazie.

Non capisco che intendi di preciso. Se la funzione inversa non è continua non può essere derivabile.--Mat4free (msg) 11:05, 3 dic 2017 (CET)

Mi riferisco alle parole dell'autore del testo Wiki

"Anche la richiesta che {\displaystyle f^{-1}(y)} f^-1(y) sia continua nel punto {\displaystyle y_{0}} y_{0} è necessaria. È infatti possibile (ma la costruzione non è semplicissima) costruire un esempio di una funzione {\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} } {\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} } invertibile e con derivata in {\displaystyle 0} {\displaystyle 0} uguale a {\displaystyle 1} 1, la cui inversa nel punto {\displaystyle f(0)} {\displaystyle f(0)} non è continua (e quindi neppure derivabile)."

Ovvero, la continuità puntuale della funzione inversa in y° è dichiarata non essere conseguenza della derivabilità (o continuità) di f in x° e pertanto va aggiunta fra le ipotesi. L'esempio (o - se vogliamo - controesempio) citato dall'autore è "non semplicissimo" e pertanto merita a mio avviso di essere pubblicato.

Siamo sicuri che esista? Ne dubito. Il teorema della funzione inversa dice che se $f\in C^{1}$ su un aperto $S$ e se la derivata in un punto $x_{0}\in S$ non è nulla, allora esistono un intorno $U$ di $x_{0}$ e un intorno $V$ di $f(x_{0})$ tali che, tra l'altro, anche l'inversa di $f$ appartiene a $C^{1}$ su $V$ (ad esempio, Apostol, Mathematical Analysis, seconda edizione, p. 372; Marsden, Elementary Classical Analysis, p. 230; Rudin, Principles of Mathematical Analysis, terza edizione, p. 221). In altri termini, il teorema dimostra che l'inversa è continua, come si dice anche nella pagina Teorema della funzione inversa (curiosamente non presente tra le voci correlate).

Tra l'altro, se si dovesse verificare la continuità dell'inversa la regola risulterebbe spesso non applicabile. Ad esempio, se $f(x)=x+e^{x}$ non è possibile trovare un'espressione esplicita dell'inversa e, pertanto, non è possibile determinare se l'inversa è continua. La regola è comunque applicabile, perché il teorema garantisce che l'inversa è continua (l'esempio è di Pagani-Salsa, Analisi matematica, vol. 1, p. 287).

Magari aspetto qualche giorno, poi cambio il testo della voce. --Leitfaden (msg) 10:19, 21 feb 2020 (CET)