Identità sui logaritmi

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In vari settori della matematica, in particolare nello studio delle funzioni speciali, si incontrano svariate identità sui logaritmi.

Identità algebriche[modifica | modifica sorgente]

Le identità più semplici[modifica | modifica sorgente]

 \log_b(1) = 0 \!\, deriva da  b^0 = 1\!\,
 \log_b(b) = 1 \!\, deriva da  b^1 = b\!\,
 \log_{1/b}(b) = -1 \!\, deriva da  b^{-1} = 1/b\!\,

Semplificazione di calcoli numerici[modifica | modifica sorgente]

I logaritmi sono stati introdotti per semplificare i calcoli numerici. Per esempio si può ottenere il prodotto di due numeri servendosi delle tavole dei logaritmi ed effettuando una somma.

 \log_b(xy) = \log_b(x) + \log_b(y) \!\, deriva da  b^m \cdot b^n = b^{m + n}
 \log_b\!\left(\begin{matrix}\frac{x}{y}\end{matrix}\right) = \log_b(x) - \log_b(y) deriva da  \begin{matrix}\frac{b^m}{b^n}\end{matrix} = b^{m - n}
 \log_b(x^y) = y \log_b(x) \!\, deriva da  (b^n)^y = b^{ny} \!\,
 \log_b\!\left(\!\sqrt[y]{x}\right) = \begin{matrix}\frac{log_b(x)}{y}\end{matrix} deriva da  \sqrt[y]{x} = x^{1/y}

Cancellazione con gli esponenziali (identità logaritmica)[modifica | modifica sorgente]

La funzione esponenziale viene anche chiamata antilogaritmo; in effetti le applicazioni della funzione logaritmo e della funzione esponenziale relative alla stessa base si annullano reciprocamente.

 b^{\log_b(x)} = x deriva da  \mathrm{antilog}_b(\log_b(x)) = x \!\,
 \log_b(b^x) = x \!\, deriva da  \log_b(\mathrm{antilog}_b(x)) = x \!\,

Cambiamento della base[modifica | modifica sorgente]

\log_a b = {\log_c b \over \log_c a}

Questa identità permette di calcolare i logaritmi in base qualunque su molte calcolatrici. Gran parte delle calcolatrici hanno infatti tasti per il calcolo di ln e di log10, ma nessuno che permetta il calcolo diretto di log2. Per ottenere il valore di un numero come log2(3), si può calcolare log10(3) / log10(2) (o equivalentemente il calcolo di ln(3)/ln(2)).

Alla precedente formula se ne riconducono varie altre:

\log_a b = \frac{1}{\log_b a}
\log_{a^n} b = \frac{1}{n} \log_a b
a^{\log_b c} = c^{\log_b a}

Identità utili al calcolo infinitesimale[modifica | modifica sorgente]

Limiti[modifica | modifica sorgente]

\lim_{x \to 0^+} \log_a x = -\infty \quad \mbox{se } a > 1
\lim_{x \to 0^+} \log_a x =  \infty \quad \mbox{se } a < 1
\lim_{x \to \infty} \log_a x =   \infty \quad \mbox{se } a > 1
\lim_{x \to \infty} \log_a x =  -\infty \quad \mbox{se } a < 1
\lim_{x \to 0^+} x^b \log_a x = 0
\lim_{x \to \infty} {1 \over x^b} \log_a x = 0

L'ultima identità viene spesso interpretata con l'affermazione che "i logaritmi crescono più lentamente di una qualunque potenza (o radice) positiva della variabile x".

Derivata delle funzioni logaritmiche[modifica | modifica sorgente]

{d \over dx} \log_a x = {1 \over x \ln a} = {\log_a e \over x }

Integrali di funzioni logaritmiche[modifica | modifica sorgente]

\int \log_a x \, dx = x(\log_a x - \log_a e) + C

Per rendere più mnemoniche le formule che seguono conviene introdurre la notazione:

x^{\left[ n \right]} := x^n(\log(x) - H_n)

dove \,H_n:=\sum_{k=1}^n \frac{1}{k} è l'n-esimo numero armonico. Quindi si hanno le successive identità:

x^{\left[ 0 \right]} = \log x
x^{\left[ 1 \right]} = x \log(x) - x
x^{\left[ 2 \right]} = x^2 \log(x) - \begin{matrix} \frac{1}{2} \end{matrix} \, x^2
x^{\left[ 3 \right]} = x^3 \log(x) - \begin{matrix} \frac{3}{4} \end{matrix} \, x^3

Di conseguenza

\frac {d}{dx} \, x^{\left[n \right]} = n \, x^{\left[ n-1 \right]}
\int x^{\left[ n \right]}\,dx = \frac {x^{\left[ n+1 \right]}} {n+1} + C


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