Identità sui logaritmi

In vari settori della matematica, in particolare nello studio delle funzioni speciali, si incontrano svariate identità sui logaritmi.

Identità algebriche

Le identità più semplici

$\log_b(1) = 0 \!\,$	deriva da	$b^0 = 1\!\,$
$\log_b(b) = 1 \!\,$	deriva da	$b^1 = b\!\,$
$\log_{1/b}(b) = -1 \!\,$	deriva da	$b^{-1} = 1/b\!\,$

Semplificazione di calcoli numerici

I logaritmi sono stati introdotti per semplificare i calcoli numerici. Per esempio si può ottenere il prodotto di due numeri servendosi delle tavole dei logaritmi ed effettuando una somma.

$\log_b(xy) = \log_b(x) + \log_b(y) \!\,$	deriva da	$b^m \cdot b^n = b^{m + n}$
$\log_b\!\left(\begin{matrix}\frac{x}{y}\end{matrix}\right) = \log_b(x) - \log_b(y)$	deriva da	$\begin{matrix}\frac{b^m}{b^n}\end{matrix} = b^{m - n}$
$\log_b(x^y) = y \log_b(x) \!\,$	deriva da	$(b^n)^y = b^{ny} \!\,$
$\log_b\!\left(\!\sqrt[y]{x}\right) = \begin{matrix}\frac{log_b(x)}{y}\end{matrix}$	deriva da	$\sqrt[y]{x} = x^{1/y}$

Cancellazione con gli esponenziali (identità logaritmica)

La funzione esponenziale viene anche chiamata antilogaritmo; in effetti le applicazioni della funzione logaritmo e della funzione esponenziale relative alla stessa base si annullano reciprocamente.

$b^{\log_b(x)} = x$	deriva da	$\mathrm{antilog}_b(\log_b(x)) = x \!\,$
$\log_b(b^x) = x \!\,$	deriva da	$\log_b(\mathrm{antilog}_b(x)) = x \!\,$

Cambiamento della base

$\log_a b = {\log_c b \over \log_c a}$

Questa identità permette di calcolare i logaritmi in base qualunque su molte calcolatrici. Gran parte delle calcolatrici hanno infatti tasti per il calcolo di ln e di log₁₀, ma nessuno che permetta il calcolo diretto di log₂. Per ottenere il valore di un numero come log₂(3), si può calcolare log₁₀(3) / log₁₀(2) (o equivalentemente il calcolo di ln(3)/ln(2)).

Alla precedente formula se ne riconducono varie altre:

$\log_a b = \frac{1}{\log_b a}$

$\log_{a^n} b = \frac{1}{n} \log_a b$

$a^{\log_b c} = c^{\log_b a}$

Identità utili al calcolo infinitesimale

Limiti

$\lim_{x \to 0^+} \log_a x = -\infty \quad \mbox{se } a > 1$

$\lim_{x \to 0^+} \log_a x = \infty \quad \mbox{se } a < 1$

$\lim_{x \to \infty} \log_a x = \infty \quad \mbox{se } a > 1$

$\lim_{x \to \infty} \log_a x = -\infty \quad \mbox{se } a < 1$

$\lim_{x \to 0^+} x^b \log_a x = 0$

$\lim_{x \to \infty} {1 \over x^b} \log_a x = 0$

L'ultima identità viene spesso interpretata con l'affermazione che "i logaritmi crescono più lentamente di una qualunque potenza (o radice) positiva della variabile x".

Derivata delle funzioni logaritmiche

${d \over dx} \log_a x = {1 \over x \ln a} = {\log_a e \over x }$

Integrali di funzioni logaritmiche

$\int \log_a x \, dx = x(\log_a x - \log_a e) + C$

Per rendere più mnemoniche le formule che seguono conviene introdurre la notazione:

$x^{\left[ n \right]} := x^n(\log(x) - H_n)$

dove $\,H_n:=\sum_{k=1}^n \frac{1}{k}\,$ è l'n-esimo numero armonico. Quindi si hanno le successive identità:

$x^{\left[ 0 \right]} = \log x$

$x^{\left[ 1 \right]} = x \log(x) - x$

$x^{\left[ 2 \right]} = x^2 \log(x) - \begin{matrix} \frac{1}{2} \end{matrix} \, x^2$

$x^{\left[ 3 \right]} = x^3 \log(x) - \begin{matrix} \frac{3}{4} \end{matrix} \, x^3$

Di conseguenza

$\frac {d}{dx} \, x^{\left[n \right]} = n \, x^{\left[ n-1 \right]}$

$\int x^{\left[ n \right]}\,dx = \frac {x^{\left[ n+1 \right]}} {n+1} + C$

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