Tavola degli integrali più comuni

In base al Primo teorema fondamentale del calcolo integrale, il calcolo di suddetti integrali tramite identificazione della primitiva viene effettuato attraverso algoritmi atti a far sì che la derivata del risultato coincida con la funzione integranda. Questa pagina contiene una tavola degli integrali più comuni. Queste formule sono equivalenti a quelle presentate nella tavola delle derivate. Per altri integrali vedi Indici per la matematica#Tavole di integrali.

Qui C denota una costante arbitraria di integrazione che ha senso specificare solo in relazione a una specificazione del valore dell'integrale in qualche punto.

Regole per l'integrazione di funzioni generiche

$\int af(x)\,dx = a\int f(x)\,dx$

Somma:

$\int [f(x) + g(x)]\,dx = \int f(x)\,dx + \int g(x)\,dx$

Integrazione per parti:

$\int f(x)g'(x)\,dx = f(x)g(x) - \int f'(x)g(x)\,dx$

Funzioni razionali

$\int \,dx = x + C$

$\int x^a \, dx = \frac{x^{a+1}}{a+1} + C \iff a \ne -1$

$\int \frac{1}{x}\,dx = \ln{\left|x\right|} + C$

$\int \frac{f'(x)}{f(x)}\,dx = \ln{\left|f(x)\right|} + C$

$\int \frac{f'(x)}{1 + f^2(x)}\,dx = \arctan{f(x)} + C$

$\int \frac{1}{1+x^2} \, dx = \arctan{x} + C$

$\int \frac{1}{a^2+x^2} \, dx = \frac{1}{a} \cdot \arctan{\frac{x}{a}} + C$

$\int \frac{1}{a+bx^2} \, dx = \frac{\arctan{\frac{\sqrt{b}x}{\sqrt{a}}}}{\sqrt{ab}} + C$

$\int \frac{1}{ax^2+bx+c} \, dx = \frac{1}{\sqrt{b^2-4ac}} \cdot \ln{\left | \frac{2ax+b-\sqrt{b^2-4ac}}{2ax+b+\sqrt{b^2-4ac}}\right |} + C \iff b^2-4ac > 0$

$\int \frac{1}{ax^2+bx+c} \, dx = \frac{2}{\sqrt{4ac-b^2}} \cdot \arctan{ \left ( \frac{2ax+b}{\sqrt{4ac-b^2}}\right )} + C \iff b^2-4ac < 0$

$\int \frac{x+c}{\left(x+b \right )^2 + a^2} \, dx = \frac{1}{2} \ln{\left( x^2+2bx+a^2-b^2 \right)} + \frac{c-b}{a} \cdot \arctan{\left ( \frac{x+b}{a} \right )} + C$

Logaritmi

$\int \ln {x}\,dx = x \ln {x} - x + C$

$\int \log_b {x}\,dx = x\log_b {x} - x\log_b {e} + C$

Funzioni esponenziali

$\int e^x\,dx = e^x + C$

$\int e^{ax}\,dx = \frac{e^{ax}}{a} + C$

$\int f'(x)e^{f(x)}\,dx = e^{f(x)} + C$

$\int a^x\,dx = \frac{a^x}{\ln{a}} + C$

Funzioni irrazionali

$\int {1 \over \sqrt{1-x^2}} \, dx = \arcsin {x} + C$

$\int {-1 \over \sqrt{1-x^2}} \, dx = \arccos {x} + C$

$\int {x \over \sqrt{x^2-1}} \, dx = \mbox{arcsec}\,{x} + C$

$\int {1 \over \sqrt{1+x^2}} \, dx = \operatorname{arcsinh} {x} + C$

$\int {1 \over \sqrt{x^2-1}} \, dx = \operatorname{arccosh} {x} + C$

$\int_{}^{}\sqrt[]{a^2-x^2} \, dx = {a^2 \over\ 2} \arcsin{x \over\ a} + {x \over\ 2}\sqrt[]{a^2-x^2} \ +C$

Funzioni trigonometriche

$\int \cos{x}\, dx = \sin{x} + C$

$\int \sin{x}\, dx = -\cos{x} + C$

$\int f'(x)cos{f(x)}\,dx = \sin{f(x)} + C$

$\int f'(x)sin{f(x)}\,dx = -\cos{f(x)} + C$

$\int \tan{x} \, dx = -\ln{\left| \cos{x} \right|} + C$

$\int \csc{x} \, dx = \ln{\left| \csc{x} - \cot{x}\right|} + C$

$\int \sec{x} \, dx = \ln{\left| \sec{x} + \tan{x}\right|} + C$

$\int \cot{x} \, dx = \ln{\left| \sin{x} \right|} + C$

$\int \sec^2 x \, dx = \tan x + C$

$\int \csc^2 x \, dx = -\cot x + C$

$\int \sin^2 x \, dx = \frac{1}{2}(x - \sin x \cos x) + C$

$\int \cos^2 x \, dx = \frac{1}{2}(x + \sin x \cos x) + C$

$\int \cos {ax}\, dx = \frac{1}{a} sin ({ax}) + C$

$\int \sin {ax}\, dx = -\frac{1}{a} cos ({ax}) + C$

Funzioni iperboliche

$\int \sinh x \, dx = \cosh x + C$

$\int \cosh x \, dx = \sinh x + C$

$\int \tanh x \, dx = \ln (\cosh x) + C$

$\int \mbox{csch}\,x \, dx = \ln\left| \tanh {x \over2}\right| + C$

$\int \mbox{sech}\,x \, dx = \arctan(\sinh x) + C$

$\int \coth x \, dx = \ln|\sinh x| + C$

$\int \operatorname{settcosh} x \, dx = x \operatorname{settcosh} x -\sqrt{x^2-1}+ C$

$\int \operatorname{settsinh} x \, dx = x \operatorname{settsinh} x -\sqrt{x^2+1}+ C$

$\int \operatorname{setttanh} x \, dx = x \operatorname{setttanh}x +\frac {\log{(1-x^2)}} 2+ C$

Voci correlate

• Integrale

Collegamenti esterni

• The Integrator - Calcolo formale di primitive (Wolfram Research)
• Integrali definiti e indefiniti (Interactive Multipurpose Server) (WIMS)

Portale Matematica: accedi alle voci di Wikipedia che trattano di matematica