Tavola degli integrali più comuni

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In base al Primo teorema fondamentale del calcolo integrale, il calcolo di suddetti integrali tramite identificazione della primitiva viene effettuato attraverso algoritmi atti a far sì che la derivata del risultato coincida con la funzione integranda. Questa pagina contiene una tavola degli integrali più comuni. Queste formule sono equivalenti a quelle presentate nella tavola delle derivate. Per altri integrali vedi Indici per la matematica#Tavole di integrali.

Qui C denota una costante arbitraria di integrazione che ha senso specificare solo in relazione a una specificazione del valore dell'integrale in qualche punto.

Regole per l'integrazione di funzioni generiche[modifica | modifica wikitesto]

Costante:

\int af(x)\,dx = a\int f(x)\,dx

Somma:

\int [f(x) + g(x)]\,dx = \int f(x)\,dx + \int g(x)\,dx

Integrazione per parti:

\int f(x)g'(x)\,dx = f(x)g(x) - \int f'(x)g(x)\,dx

Funzioni razionali[modifica | modifica wikitesto]

\int \,dx = x + C
\int x^a \, dx = \frac{x^{a+1}}{a+1} + C \iff a \ne -1
\int \frac{1}{x}\,dx = \ln{\left|x\right|} + C
\int \sqrt{x}\,dx = \frac{2}{3}  \sqrt{x^{3}} + C
\int \frac{f'(x)}{f(x)}\,dx = \ln{\left|f(x)\right|} + C
\int \frac{f'(x)}{1 + f^2(x)}\,dx = \arctan{f(x)} + C
\int \frac{1}{1+x^2} \, dx = \arctan{x} + C
\int \frac{1}{a^2+x^2} \, dx = \frac{1}{a} \arctan{\frac{x}{a}} + C
\int \frac{1}{a+bx^2} \, dx = \frac{\arctan{\frac{\sqrt{b}x}{\sqrt{a}}}}{\sqrt{ab}}  + C
\int \frac{1}{ax^2+bx+c} \, dx =  \frac{1}{\sqrt{b^2-4ac}} \ln{\left | \frac{2ax+b-\sqrt{b^2-4ac}}{2ax+b+\sqrt{b^2-4ac}}\right |} + C \iff b^2-4ac > 0
\int \frac{1}{ax^2+bx+c} \, dx = \frac{2}{\sqrt{4ac-b^2}} \arctan{ \left ( \frac{2ax+b}{\sqrt{4ac-b^2}}\right )} + C \iff b^2-4ac < 0
\int \frac{x+c}{\left(x+b \right )^2 + a^2} \, dx = \frac{1}{2} \ln{\left( x^2+2bx+a^2+b^2 \right)} + \frac{c-b}{a} \arctan{\left ( \frac{x+b}{a} \right )} + C

Logaritmi[modifica | modifica wikitesto]

\int \ln {x}\,dx = x \ln {x} - x + C
\int \log_b {x}\,dx = x\log_b {x} - x\log_b {e} + C

Funzioni esponenziali[modifica | modifica wikitesto]

\int e^x\,dx = e^x + C
\int e^{ax}\,dx = \frac{e^{ax}}{a} + C
\int f'(x)e^{f(x)}\,dx = e^{f(x)} + C
\int a^x\,dx = \frac{a^x}{\ln{a}} + C

Funzioni irrazionali[modifica | modifica wikitesto]

\int {1 \over \sqrt{1-x^2}} \, dx = \arcsin {x} + C
\int {-1 \over \sqrt{1-x^2}} \, dx = \arccos {x} + C
\int {1 \over |x| \sqrt{x^2-1}} \, dx = \mbox{arcsec}\,{x} + C
\int {1 \over \sqrt{1+x^2}} \, dx = \operatorname{settsinh} {x} + C
\int {1 \over \sqrt{x^2-1}} \, dx = \operatorname{settcosh} {x} + C
\int_{}^{}\sqrt[]{a^2-x^2} \, dx = {a^2 \over\ 2} \arcsin{x \over\ a} + {x \over\ 2}\,\sqrt{a^2-x^2} \ +C

Funzioni trigonometriche[modifica | modifica wikitesto]

\int \cos{x}\, dx = \sin{x} + C
\int \sin{x}\, dx = -\cos{x} + C
\int f'(x) \cos f(x)\,dx = \sin {f(x)} + C
\int f'(x) \,\sin {f(x)}\,dx = -\cos{f(x)} + C
\int \tan{x} \, dx = -\ln{\left| \cos{x} \right|} + C
\int \csc{x} \, dx = \ln{\left| \csc{x} - \cot{x}\right|} + C
\int \sec{x} \, dx = \ln{\left| \sec{x} + \tan{x}\right|} + C
\int \cot{x} \, dx = \ln{\left| \sin x \right|} + C
\int \sec^2 x \, dx = \tan x + C
\int \csc^2 x \, dx = -\cot x + C
\int \mathrm{sin}^2\,x \, dx = \frac{1}{2}(x - \sin x \cos x) + C
\int \cos^2 x \, dx = \frac{1}{2}(x + \sin x \cos x) + C
\int \cos (ax)\, dx = \frac{1}{a} \, \sin(ax) + C
\int \sin(ax)\, dx = -\frac{1}{a} \cos (ax) + C

Funzioni iperboliche[modifica | modifica wikitesto]

\int \sinh x \, dx = \cosh x + C
\int \cosh x \, dx = \sinh x + C
\int \tanh x \, dx = \ln (\cosh x) + C
\int \mbox{csch}\,x \, dx = \ln\left| \tanh {x \over2}\right| + C
\int \mbox{sech}\,x \, dx = \arctan(\sinh x) + C
\int \coth x \, dx = \ln|\sinh x| + C
\int \operatorname{settcosh} x \, dx = x \operatorname{settcosh} x -\sqrt{x^2-1}+ C
\int \operatorname{settsinh} x \, dx = x \operatorname{settsinh} x -\sqrt{x^2+1}+ C
\int \operatorname{setttanh} x \, dx = x \operatorname{setttanh}x +\frac {\log{(1-x^2)}} 2+ C

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

Collegamenti esterni[modifica | modifica wikitesto]

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