Distribuzione di Birnbaum-Saunders

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In teoria delle probabilità la distribuzione di Birnbaum-Saunders è una distribuzione di probabilità continua, dipendente da due parametri, definita sui numeri reali positivi e utilizzata per descrivere probabilità di rottura di un sistema.

Venne descritta nel 1969 da Z.W. Birnbaum e Sam C. Saunders con due articoli nel Journal of Applied Probability (A new family of life distributions e Estimation for a family of life distributions with applications to fatigue).

funzione di densità di probabilità per alcuni valori di α, con β=1

La funzione di densità di probabilità è

f(t|\alpha , \beta)=\frac{1}{\sqrt{2 \pi}}
\frac{\sqrt{t/\beta} + \sqrt{\beta/t}}{2 \alpha t}
e^{-\frac{(\sqrt{t/\beta} - \sqrt{\beta/t})^2}{2 \alpha^2}}

È legata alla variabile casuale normale standardizzata dalle seguenti relazioni:

Se Z~N(0;1) e

T=\beta \left[ \frac{\alpha Z}{2} + \sqrt{\left(\frac{\alpha Z}{2}\right)^2+1}\, \right]^2

allora T è una variabile casuale di Birnbaum-Saunders con parametri \alpha e \beta.

Se T~BS(α , β) allora

Z=\frac{1}{\alpha}\left(\sqrt{\frac{T}{\beta}}-\sqrt{\frac{\beta}{T}}\right)

è distribuita come una normale standardizzata.

I momenti di ordine n sono dati da

m_n = 
\beta \sum_{j=0}^n {2n  \choose 2j}  \sum_{i=0}^j {j \choose i}
\frac{ (2(n-j+i))! }{ 2^{n-j+i}(n-j+i)! }
\left(\frac{\alpha}{2}\right)^{2(n-j+i)}

per cui valore atteso, e la mediana sono

\mu=\frac{1}{2}\beta ( \alpha^2+2)
mediana = β

la varianza e il coefficiente di variazione sono

\sigma^2=\frac{1}{4}\beta^2 ( 5 \alpha^4+4\alpha^2)
cv=\frac{( 5 \alpha^4+4\alpha^2)^{1/2}}{\alpha^2+2}

mentre gli indici di simmetria e curtosi sono

\frac{44\alpha^3+24\alpha}{(5 \alpha^2+4)^{3/2}}
3+\frac{558 \alpha^4 + 240 \alpha^2}{(5 \alpha^2+4)^2}

dall'assenza di β da quest'ultimi 3 indici si capisce perché il coefficiente β venga chiamato coefficiente di scala, infatti vale che se T~BS(α,β) allora

  • cT ~ BS(α , cβ), per valori positivi di c
  • 1/T ~ BS(α , 1/β)

La funzione cumulata F(x) è data da

F(x)=\Phi \left( \frac{1}{\alpha} \left( \sqrt{\frac{x}{\beta}} - \sqrt{\frac{\beta}{x}}   \right)    \right)

dove \Phi(\cdot) è la funzione cumulata di una Normale standardizzata N(0,1)

L'inversa della funzione cumulata x(p)=F^{-1}(p), utile per calcolare i quantili o generare numeri casuali, è data da

x(p)=\beta \left( \frac{\alpha z_p}{2} + \sqrt{\left(\frac{\alpha z_p}{2} \right)^2+1} \right)^2, per 0<p<1

dove z_p è il p-esimo percentile della N(0,1), così come si trova abitualmente tabulata.

Vedasi anche[modifica | modifica wikitesto]

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