Moto browniano

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Con il termine moto browniano si fa riferimento al moto disordinato delle particelle (aventi diametro dell'ordine del micrometro) presenti in fluidi o sospensioni fluide.

Sebbene l'osservazione di questo fenomeno da parte di Jan Ingenhousz sia avvenuta nel 1785, esso venne riscoperto nel 1828 da Robert Brown (che osservò il moto del polline in una sospensione acquosa), per poi avere una trattazione matematica rigorosa solo agli inizi del Novecento con Louis Bachelier (1900 - Théorie de la spéculation, tesi di laurea) e Albert Einstein (1905 - Über die von der molekularkinetischen Theorie der Wärme geforderte Bewegung von in ruhenden Flüssigkeiten suspendierten Teilchen, articolo - in italiano: Sulla teoria cinetico-molecolare del calore dovuta al movimento di particelle sospese in liquidi a riposo).

Cenni storici[modifica | modifica wikitesto]

Il termine "moto browniano" deriva dal nome del botanico scozzese Robert Brown, che lo osservò nel 1827 mentre stava studiando al microscopio le particelle di polline della Pulchella clarkia in acqua; egli osservò che i granuli di polline erano in continuo movimento e in ogni istante tale moto avveniva lungo direzioni casuali.

Dopo avere appurato che il movimento non era dovuto a correnti o evaporazione dell'acqua, Brown pensò che queste particelle fossero "vive", analogamente agli spermatozoi. Testò quindi la sua teoria eseguendo lo stesso esperimento con una pianta morta, con minuscoli frammenti di legno fossile e con frammenti di vetro, osservando tuttavia lo stesso fenomeno. Ciò significava che il movimento delle particelle non era da attribuire ad alcuna "forza vitale", ma Brown non seppe fornire nessun'altra spiegazione a tale fenomeno.

Nel 1905 Albert Einstein pubblicò un articolo dal titolo "Über die von der molekularkinetischen Theorie der Bewegung von Wärme geforderte in ruhenden suspendierten Flüssigkeiten Teilchen", dove fornì una spiegazione del fenomeno del moto browniano, attribuendo la causa del moto agli urti delle molecole d'acqua con i piccoli granuli di polline; Einstein diede inoltre una descrizione quantitativa del fenomeno.

Introduzione[modifica | modifica wikitesto]

Quando un fluido si trova all'equilibrio termodinamico si potrebbe pensare che le molecole che lo compongono siano essenzialmente ferme o che comunque vibrino attorno alla loro posizione di equilibrio per effetto della temperatura. Se però si osserva il moto di un tale fluido, ad esempio disperdendovi delle particelle colorate molto leggere ed osservandone il movimento, si nota che queste sono tutt'altro che a riposo. Quello che si osserva è che ciascuna particella segue un moto disordinato la cui natura appare essere indipendente dalla natura della particella stessa.

Questo è dovuto al fatto che la particella in questione subisce un gran numero di eventi di scattering (urti) da parte delle molecole del fluido in cui è immersa.

Quanto più piccole sono le particelle tanto più rapido è il moto browniano. Questo moto contrasta la forza di gravità e rende stabili le soluzioni colloidali. Questa caratteristica permette di valutare se una sospensione di particelle abbia carattere colloidale o no: infatti all'aumentare delle dimensioni delle particelle la dispersione colloidale si avvicinerà sempre più ad una sospensione in cui le risultanti degli urti con la fase disperdente sarà pressoché nulla, presentando un moto Browniano quasi nullo (ciò che avviene nel fluido non newtoniano).

Trattazione matematica del moto browniano[modifica | modifica wikitesto]

Esempio della traiettoria seguita da una particella in moto browniano

Consideriamo una particella di massa m immersa in un fluido, all'equilibrio termodinamico, ad una temperatura T. Questa particella sarà soggetta:

  • ad un attrito viscoso \bar{F}=-\lambda\bar{v}, dove \lambda è il coefficiente di attrito viscoso e \bar{v} è la velocità della particella stessa
  • alla forza risultante dagli urti con le molecole che compongono il fluido. Riguardo a questa forza aleatoria possiamo fare le seguenti ipotesi:
  1. Isotropia: la forza non ha direzioni privilegiate e quindi \left\langle\bar{f}(t)\right\rangle=0.
  2. Scorrelazione: la forza fluttua continuamente ed in ogni momento non è correlata con il suo valore ad un istante precedente e quindi \left\langle\bar{f}(t)\bar{f}(t')\right\rangle=\Lambda\delta (t-t').
  3. Gaussianità: la forza è il risultato di un numero molto alto di eventi tra di loro indipendenti e quindi, per il teorema del limite centrale può essere assunta distribuita gaussianamente.

La prima equazione cardinale assume la forma

\frac{\operatorname d \bar{v}(t)}{\operatorname d t}=- \frac{\lambda}{m}\bar{v}(t)+\frac{\bar{f(t)}}{m}

che ha come soluzione

\bar{v}(t)=e^{-\frac{\lambda}{m}t}\left[\int_0^t \frac{1}{m}e^{\frac{\lambda}{m}t'}\bar{f}(t') \operatorname d t' +\bar{v}(0)\right]

e quindi

\left\langle\bar{v}(t)\right\rangle=\bar{v}(0)e^{-\frac{\lambda}{m}t}.

Integrando ancora la velocità si ottiene che lo spostamento è dato da

\bar{r}(t)=\int^t_0 e^{-\frac{\lambda}{m}t'} \left[ \int_0^{t'} \frac{1}{m}e^{\frac{\lambda}{m}t''}\bar{f}(t'') \operatorname d t''+\bar{v}(0) \right] \operatorname d t'

e quindi, prendendo la media sulla forza aleatoria f(t),

\left\langle\bar{r}^2(t)\right\rangle= \bar{r}^2(0) \frac{m^2}{\lambda^2}\left( e^{-\frac{\lambda}{m}t}-1 \right)^2 +\frac{\Lambda}{\lambda^2}t +\frac{2\Lambda m}{\lambda^3}\left( e^{-\frac{\lambda}{m}t}- \frac{1}{4}e^{-2\frac{\lambda}{m}t}-\frac{3}{4} \right)

Per tempi lunghi (t\gg\frac{m}{\lambda}) questa equazione si semplifica in

\left\langle\bar{r}^2(t)\right\rangle\cong\frac{\Lambda}{\lambda^2}t=2Dt

dove la costante definita da

D=\frac{1}{2}~\lim_{t \rightarrow \infty} \frac{\left\langle\bar{r}^2(t)\right\rangle}{t}

è detta diffusività di materia.

L'equazione di diffusione[modifica | modifica wikitesto]

Macroscopicamente, una particella soggetta ad un moto browniano subisce, in un tempo infinitesimo \delta t, uno spostamento \delta \bar{r} distribuito come una gaussiana con media nulla e varianza 2D\delta t. Un metodo per analizzare questo moto è quello di studiare come evolve la distribuzione di probabilità \rho (\bar{r},t) di trovare la particella nella posizione \bar{r} ad un tempo t+\delta t.

Questa può essere riscritta come la probabilità che la particella si trovi in \bar{r} \, ' ad un tempo t moltiplicata per la probabilità condizionata che, nell'intervallo di tempo \delta t, la particella si sia spostata da \bar{r} \, ' a \bar{r}, integrata su tutti gli \bar{r} \, '

\rho (\bar{r}, t+\delta t)= \int \rho (\bar{r} \, ',t) \cdot P(\delta \bar{r}, \delta t|\bar{r} \, ', t) \cdot \operatorname d \bar{r} \, '

dove la probabilità condizionata, per quanto detto sopra, può essere scritta come

P(\delta \bar{r}, \delta t|\bar{r} \, ', t)= \frac{1}{(4\pi D \delta t)^{\frac{3}{2}}} e^{-\frac{|\delta \bar{r}|^2}{4D\delta t}}\Rightarrow \rho (\bar{r}, t+\delta t)= \int \rho (\bar{r} \, ',t) \cdot \frac{1}{(4\pi D \delta t)^{\frac{3}{2}}} e^{-\frac{|\delta \bar{r}|^2}{4D\delta t}}\cdot \operatorname d \bar{r}

per \delta t piccoli anche \delta \bar{r} sarà piccolo e quindi possiamo effettuare uno sviluppo in serie di Taylor per ottenere

\rho (\bar{r}, t+ \delta t)= \rho (\bar{r}, t) + D \delta t \nabla^2 \rho (\bar{r}, t)\Rightarrow \frac{\partial}{\partial t} \rho (\bar{r}, t)= D \nabla^2 \rho (\bar{r}, t)

che è la ben nota equazione di diffusione.

L'equazione di Fokker-Planck[modifica | modifica wikitesto]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi equazione di Fokker-Planck.

Se introduciamo una forza esterna (generata da un potenziale U) a cui la particella è soggetta

\bar{F}=-\nabla U

possiamo pensare che in assenza della forza aleatoria la particella raggiungerebbe una certa velocità limite

v_{lim}= \frac{\bar{F}}{\lambda}

per effetto dell'attrito viscoso. Possiamo quindi scrivere che:

\left\langle\delta \bar{r}\right\rangle= v_{lim} \delta t \cong \frac{\bar{F}}{\lambda}\delta t
\left\langle\delta r_i \delta r_j\right\rangle\cong 2D\delta_{ij}\delta t.

Inserendo questi termini nello sviluppo di \rho (\bar{r}, t+\delta t) si ottiene

\frac{\partial \rho}{\partial t}= -\nabla\cdot \left( \frac{\bar{F}}{\lambda} \rho - D \nabla \rho \right)

che è la generalizzazione dell'equazione di diffusione al caso di forze esterne non nulle, ed è nota come equazione di Fokker-Planck.

Brevi accenni al metodo di Bachelier: applicazioni al mercato finanziario[modifica | modifica wikitesto]

Louis Jean Baptist Bachelier, che è universalmente considerato il padre della matematica finanziaria propose, come Einstein, un approccio statistico al processo. In particolare, il processo stocastico utilizzato è un processo di Wiener (o di Bachelier-Wiener, come proposto da William Feller), che rientra nella categoria più ampia dei processi di Markov.

È parso ragionevole applicare l'ipotesi di efficienza debole dei mercati (e cioè che il prezzo di un'attività racchiuda in sé tutta la storia passata) per modellizzare attraverso un processo di Wiener il percorso del prezzo delle azioni in un mercato finanziario. Successivamente al lavoro di Bachelier del 1900, tuttavia, questo approccio è stato per lungo tempo abbandonato, per essere ripreso soltanto a partire dagli anni sessanta, ed è definitivamente entrato a far parte degli strumenti della teoria della finanza con il noto lavoro di Black e Scholes del 1973. Il modello di moto browniano dei prezzi dei titoli finanziari è un elemento essenziale del pricing dei prodotti finanziari derivati, e in generale di altre attività finanziarie.

La matematica del moto browniano utilizzata nell'ambito della finanza differisce da quella comunemente utilizzata in ambito fisico, basata sul calcolo stocastico di Stratonovic; in finanza si utilizzano per lo più il calcolo stocastico basato sul lemma di Itō e il calcolo di Malliavin. Applicazioni numeriche nel pricing dei prodotti finanziarie spesso ricorrono a metodi di simulazione Monte Carlo.

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

  • Appunti di meccanica statistica, Luca Peliti, Bollati Boringhieri (2003).
  • T. Hida, Brownian Motion, Springer, 1980.
  • I. Karatzas, S. Shreve, Brownian Motion and Stochastic Calculus, Springer, 1998.
  • Revuz D., M. Yor, Continuous Martingales and Brownian Motion, Springer, 1991.
  • Black, F. e Scholes, M. (1973), The Pricing of Options and Corporate Liabilities, Journal of Political Economy, 81 (30), 637-654.
  • Mark Haw, Middle World: The Restless Heart of Matter and Life, Macmillan (Nov. 2006) - Nel mondo di mezzo: il moto browniano tra materia e vita, Zanichelli (2008).
  • Gershenfeld, N. (1999). The Nature of Mathematical Modelling.
  • Resnick, S. (1992). Adventures in stochastic processes. Birkhauser.

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

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Collegamenti esterni[modifica | modifica wikitesto]