Distribuzione di Wishart

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In teoria della probabilità, la distribuzione di Wishart, così chiamata in onore di John Wishart, è una distribuzione di probabilità continua che generalizza la Distribuzione chi quadro. È definita sullo spazio delle matrici simmetriche definite negative. Queste distribuzioni sono di grande importanza per la stima delle matrici di covarianza nell'ambito della statistica multivariata.

Definizione della distribuzione di Wishart[modifica | modifica wikitesto]

La variabile casuale di Wishart viene definita come segue. Sia X una matrice n × p, ognuna delle cui righe distribuita come una variabile casuale normale multivariata,

X_i\sim N_p(0,V).

Allora la distribuzione di Wishart è la distribuzione di probabilità della matrice aleatoria p × p

S = X^T X,

ove AT indica la trasposta di A, e si indica con

S \sim W_p(V, n).

L'intero n corrisponde al numero dei gradi di libertà. Se p = 1 e V = 1 allora questa è una variabile casuale chi quadro.

Funzione di densità[modifica | modifica wikitesto]

La distribuzione di Wishart può essere caratterizzata dalla sua funzione di densità di probabilità come segue.

Sia {\mathbf W} una matrice simmetrica p\times p di variabili casuali definite positive. Sia inoltre {\mathbf V} una matrice positiva p\times p non stocastica (vale a dire con valori fissi).

Allora, se m\geq p, {\mathbf W} è una distribuzione di Wishart con m gradi di libertà se ha la funzione di densità di probabilità f_{\mathbf W} data da


f_{\mathbf W}(w)=
\frac{
  \left|w\right|^{(m-p-1)/2}
  \exp\left[ - {\rm trace}({\mathbf V}^{-1}w/2 )\right] )
}{
2^{mp/2}\left|{\mathbf V}\right|^{m/2}\Gamma_p(m/2)
}

ove \Gamma_p(\cdot) è la funzione gamma multivariata definita come


\Gamma_p(m/2):=
\pi^{p(p-1)/4}\Pi_{j=1}^p
\Gamma\left[ (m+1-j)/2\right]
.

Proprietà[modifica | modifica wikitesto]

Teorema[modifica | modifica wikitesto]

Se {\mathbf W} è distribuita come una v.c. di Wishart con m gradi di libertà e matrice delle varianze {\mathbf V}---scritto {\mathbf W}\sim{\mathbf W}_p(m,{\mathbf V})---e {\mathbf C} è una matrice q\times p di rango q, allora


{\mathbf C}{\mathbf W}{\mathbf C'}
\sim
{\mathbf W}_q\left(m,{\mathbf C}{\mathbf V}{\mathbf C'}\right)

Primo corollario[modifica | modifica wikitesto]

Se {\mathbf z} è un vettore costante non nullo p\times 1, allora {\mathbf z'}{\mathbf W}{\mathbf z}\sim\sigma_z^2\chi_m^2

(Qui \chi_m^2 è la variabile casuale chi quadro e \sigma_z^2={\mathbf z'}{\mathbf V}{\mathbf z}; si noti che \sigma_z^2 è costante e positivo, in quanto {\mathbf V} è definito positivo).


Secondo corollario[modifica | modifica wikitesto]

Si consideri il caso ove {\mathbf z'}=(0,\ldots,0,1,0,\ldots,0) (vettore con lo j-esimo componente uguale a 1 e con tutti gli altri zero). Allora dal primo corollario discende che

w_{jj}\sim\sigma_{jj}\chi^2_m

Un noto statistico (George Seber) fa notare che la distribuzione di Wishart non è chiamata "chi quadrato multivariata" in quanto la distribuzione marginale degli elementi non diagonali non sono distribuiti come una chi quadrato. Seber preferisce riservare il termine "multivariata" per i casi in cui tutti i marginali univariati sono della stessa famiglia.

Stimatore della distribuzione normale multivariata[modifica | modifica wikitesto]

La v.c. di Wishart è la variabile casuale dello stimatore di massima verosomiglianza della matrice delle covarianze di una variabile casuale gaussiana multivariata. Tale derivazione è sorprendentemente sottile e elegante. Essa coinvolge, da una parte, il teorema spettrale e, dall'altra, la ragione per la quale può essere meglio interpretare uno scalare come la traccia di una matrice 1×1 piuttosto che come un semplice scalare.

v.c. di Wishart e v.c. Lambda di Wilks[modifica | modifica wikitesto]

Siano date le due v.c. distribuite come una v.c. di Wishart

A \sim W_p(I, m) \qquad B \sim W_p(I, n)

indipendenti tra di loro e con m \ge p, allora

\lambda = \frac{|A|}{|A+B|} = \frac{1}{|I+A^{-1}B|} \sim \Lambda(p,m,n).

dove \Lambda(p,m,n) è una variabile casuale Lambda di Wilks.

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

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