Variabile casuale

In teoria della probabilità, una variabile casuale (o variabile aleatoria o variabile stocastica o random variable) può essere pensata come il risultato numerico di un esperimento quando questo non è prevedibile con certezza (ossia non è deterministico). Ad esempio, il risultato del lancio di un dado a sei facce può essere matematicamente modellato come una variabile casuale che può assumere uno dei sei possibili valori 1,2,3,4,5,6. Bruno de Finetti definiva numero aleatorio (termine suggerito dallo stesso per denotare la variabile casuale) un numero ben determinato ma non noto per carenza di informazioni.

Definizione

Più formalmente, sia dato uno spazio campionario Ω su cui è definita una misura di probabilità ν, una variabile casuale è una funzione misurabile dallo spazio campionario a uno spazio misurabile; in questa definizione la nozione di misurabilità è quella definita da Lindgren (1976): una funzione X definita sullo spazio campionario Ω si dice misurabile rispetto al campo di Borel $\mathcal{B}$ se e solo se l'evento $\{\omega\in \Omega : X(\omega) \leq \lambda \}$ appartiene a $\mathcal{B}$ per ogni λ.

• Le variabili casuali a una dimensione (cioè a valori in $\R$) si dicono semplici o univariate.
• Le variabili casuali a più dimensioni si dicono multiple o multivariate (doppie, triple, k-uple).

Variabili casuali che dipendono da un parametro t (t come tempo) vengono considerate processi stocastici.

Distribuzione di probabilità

Per approfondire, vedi la voce Misura di probabilità.

Ad una variabile casuale X si associa la sua distribuzione, o legge di probabilità P_X, che assegna ad ogni sottoinsieme dell'insieme dei possibili valori di X la probabilità che la variabile casuale X assuma valore in esso. In formule, se X è una variabile casuale che ha valori in H e A è un sottoinsieme di H, la distribuzione di probabilità di X in A vale

$P_X (A) := P(X\in A) = \nu(X^{-1}(A))$

dove ν è la misura di probabilità definita sullo spazio campionario.

Per variabili aleatorie a valori reali, la legge di probabilità della variabile casuale X è individuata univocamente dalla sua funzione di ripartizione, definita come $F(x)= P(X \le \ x)$. Inoltre:

• se la variabile casuale X è discreta, cioè l'insieme dei possibili valori (il rango o supporto di X) è finito o numerabile, è definita anche la funzione di massa (o funzione massa di probabilità o densità discreta), ossia la funzione di probabilità discreta

p(x) = P(X = x)

• se la variabile casuale X è continua, cioè l'insieme dei possibili valori ha la potenza del continuo, è definita anche la funzione di densità di probabilità, cioè la funzione f non negativa tale per cui

$P(X\in A)=\int_A f(x)dx$

In altri termini descrivere in termini probabilistici o statistici una fenomeno aleatorio nel tempo, caratterizzabile dunque da una variabile aleatoria, vuol dire descriverlo in termini di densità di distribuzione di probabilità e dei suoi parametri di media o valore atteso e varianza.

Storia

Ancorché non formalizzato, il concetto della distribuzione statistica attorno ad una media era noto fin dall'antichità. Leggiamo infatti nel Fedone di Platone:

«E non è ingiusto, questo? Non è forse vero che chi si comporta così, evidentemente vive tra gli uomini senza averne nessuna esperienza? Se, infatti, li conoscesse appena, saprebbe che son pochi quelli veramente buoni o completamente malvagi e che per la maggior parte, invece, sono dei mediocri.»
«In che senso?» feci.
«È lo stesso delle cose molto piccole e molto grandi. Credi forse che sia tanto facile trovare un uomo o un cane o un altro essere qualunque molto grande o molto piccolo o, che so io, uno molto veloce o molto lento o molto brutto o molto bello o tutto bianco o tutto nero? Non ti sei mai accorto che in tutte le cose gli estremi sono rari mentre gli aspetti intermedi sono frequenti, anzi numerosi?»

(Platone, Fedone, XXXIX)

Alcune variabili casuali utilizzate in statistica

Le variabili casuali si dividono principalmente in due grandi classi, discrete e continue (o assolutamente continue): Esempi del primi tipo:

• variabile casuale uniforme discreta
• variabile casuale bernoulliana, caso particolare della Binomiale
• variabile casuale binomiale
• variabile casuale poissoniana detta pure legge degli eventi rari
• variabile casuale geometrica, caso particolare della distribuzione di Pascal
• variabile casuale ipergeometrica
• variabile casuale degenere

Esempi del secondo tipo:

• variabile casuale normale o gaussiana
• variabile casuale Gamma o Erlanghiana
• variabile casuale t di Student
• variabile casuale di Fisher-Snedecor
• variabile casuale esponenziale negativa, caso particolare della v.c. Gamma
• variabile casuale Chi Quadrato χ², caso particolare della v.c. Gamma
• variabile casuale Beta
• variabile casuale rettangolare o uniforme continua
• variabile casuale di Cauchy
• variabile casuale di Bozzato-Manfrin

Tali classi non sono però esaustive della famiglia delle variabili casuali; esiste anche una terza classe, delle variabili casuali singolari o continue singolari, come la variabile casuale di Cantor.

Il teorema di rappresenzazione di Lebesgue ci assicura che ogni funzione di ripartizione (e dunque ogni variabile casuale) è rappresentabile come combinazione convessa di una funzione di ripartizione discreta, una continua e una singolare. Variabili casuali che non appartengono a nessuna delle tre classi vengono dette miste.

Si può comunque dimostrare che le classi delle v.c. discrete e delle v.c. continue sono dense nella classe di tutte le variabili casuali rispetto alla convergenza in distribuzione, cioè per ogni variabile casuale esiste una successione di v.c. discrete (rispettivamente continue) che converge in distribuzione alla variabile data.

Teoremi

Se

X₁,X₂,...,X_n sono variabile casuale Bernoulliane uguali e indipendenti

allora

X = X₁ + X₂ + ... + X_n, è una variabile casuale binomiale B(n,p)

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Se

X è una variabile casuale binomiale B(n,p) con n molto grande (orientativamente più di 50) e p molto piccolo, tale che np è, orientativamente, minore di 10 e p(1 − p) quasi uguale a p,

allora

può essere approssimata con una variabile casuale poissoniana ove λ = np.

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Se

X è una variabile casuale binomiale B(n,p) con n molto grande, ma np > 10 (e dunque non vale l'approssimazione con la poissoniana),

allora

può essere approssimata con una variabile casuale normale con valore atteso pari a np e varianza uguale a npq: N(np,npq)

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Se

X e Y sono due variabili casuali indipendenti, distribuite come una variabile casuale poissoniana con parametro rispettivamente λ_X e λ_Y

allora

Z = X + Y è a sua volta una variabile casuale Poissoniana con parametro λ_Z = λ_X + λ_Y

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Se

X e Y sono due variabile casuale Gamma in senso stretto (a = 1) con il parametro p uguale rispettivamente a n e m

allora

Z = X / Y è distribuita come una variabile casuale Beta con i parametri p = n e q = m

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Se

X e Y sono due variabile casuale identiche e indipendenti distribuite come una variabile casuale esponenziale negativa con parametro a

allora

Z = X + Y è una variabile casuale Gamma con parametri a e p = 2

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La variabile casuale esponenziale negativa viene usata in relazione alla variabile casuale poissoniana in quanto:

se

il numero di successi entro un predeterminato intervallo di tempo è distribuito come una poissoniana (con parametro λ),

allora

l'intervallo di tempo che passa tra due successi è distribuito come una esponenziale negativa con a = λ;

e viceversa.

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Se

X₁,X₂,...,X_n sono n variabili casuali χ² tra di loro indipendenti, ciascuna con g_i gradi di libertà,

allora

la variabile casuale Y = X₁ + X₂ + ... + X_n è a sua volta una variabile casuale χ² con g gradi di libertà, ove g = g₁ + g₂ + ... + g_n

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Se

Z è una variabile casuale normale standardizzata N(0,1), e X = Z²

allora

X è una variabile casuale χ² con 1 grado di libertà.

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Considerato un campione di n elementi estratto da una popolazione normale Z(μ,σ²) indicando con S² la distribuzione della varianza campionaria sarà:

$n S^2 / \sigma^2 \sim \chi^2_{n-1}$

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Se

X è una variabile casuale t di Student e $g \to \infty$

allora

X tende ad una variabile casuale normale standardizzata (μ = 0 e σ² = 1)

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Se

$Z \sim N(0,1) \,$ e $X \sim \chi^2_g$,

allora

$T=\frac{Z}{\sqrt{X/g}}$ è distribuita come una variabile casuale t di Student con g gradi di libertà.

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variabile casuale F di Snedecor:

Se

il secondo grado di libertà è molto grande,

allora

la F di Snedecor tende verso una variabile casuale Gamma con a = p = g / 2

Se

entrambi i gradi di libertà sono molto grandi,

allora

si può usare la normale

Se

il primo grado di libertà è pari ad 1,

allora

si può usare la variabile casuale t di Student

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Se

$X_{g_1}$ e $X_{g_2}$ sono variabili casuali Chi Quadrato con rispettivamente g₁ e g₂ gradi di libertà

allora

$\frac{X_{g_1}/g_1}{X_{g_2}/g_2}$ è distribuita come una variabile casuale F di Snedecor con g₁ e g₂ gradi di liberta;

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Se

in un processo markoviano (continuo nel tempo) nascite-morti, con le condizioni iniziali P_n(0) = 1 per n = 0 e 0 altrimenti, si osserva un processo di pure nascite con tasso costante λ;

allora

si ottiene la soluzione P_n(t) = e ^{− λt}(λt)^k / k!, ovvero una variabile casuale poissoniana con parametro λt

Voci correlate

• Mistura di distribuzioni
• Variabile casuale standardizzata
• Winsorizzazione

Altri progetti

• Commons

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