Funzione generatrice dei momenti

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La funzione generatrice dei momenti viene usata in statistica per caratterizzare in modo astratto le variabili casuali (v.c.), permettendo da un lato di estrarne agevolmente alcuni parametri (come il valore atteso e la varianza) dall'altro di confrontare due diverse v.c. e vedere il loro comportamento in condizioni limite.

La funzione generatrice dei momenti g(t) di una variabile casuale X è definita come il valore atteso di e^{tX}, dove esso è finito (e ciò può accadere solo in un intorno dello 0, in cui vale 1 indipendentemente da X). Infatti tale valore atteso potrebbe essere infinito e in tal caso si dice semplicemente che X non possiede funzione generatrice dei momenti.

Nel caso di variabili casuali discrete si ottiene

\ g(t) = \mbox{E}[e^{tX}] = \sum_{i=1}^{n} p_{i} e^{tX_{i}}

mentre per la variabili casuali continue:

\ g(t) = \mbox{E}[e^{tX}] = \int_{-\infty}^{\infty} e^{tx}f_{X}(x)dx

dove \ p_{i},\ i=1,\ldots,n, f_{X}(x) denotano le funzioni di massa (densità nel caso continuo) della v.c. in questione.

Dalla f.g.m. è possibile ricavare i momenti semplici di ordine k derivando k volte g(t) con t=0. Vale a dire:

\ \mu_{1} = \frac{dg}{dt}|_{t=0}=g'(0)
\ \mu_{2} = \frac{d^{2}g}{dt^{2}}|_{t=0}=g''(0)
\ \ldots

dall'ultima espressione sopra si può ad esempio ricavare la varianza.

Teoremi[modifica | modifica wikitesto]

Se \ X_1, X_2, \ldots, X_n sono v.c. indipendenti e \ X la loro somma:

\ X = X_1 + X_2 + \cdots + X_n

allora la funzione generatrice dei momenti di \ X è il prodotto delle funzioni generatrici dei momenti delle singole \ X_i:

\ g(t;X) = \prod_{i=1}^{n}g(t;X_{i}).

Un secondo teorema importante è il seguente

Se due variabili casuali su uno stesso spazio di probabilità hanno stessa funzione generatrice dei momenti, allora le due variabili casuali coincidono.

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

  • Giorgio Dall'Aglio, Calcolo delle probabilità, Zanichelli, Bologna, 2003

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

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