Funzione generatrice dei momenti

La funzione generatrice dei momenti viene usata in statistica per caratterizzare in modo astratto le variabili casuali (v.c.), permettendo da un lato di estrarne agevolmente alcuni parametri (come il valore atteso e la varianza) dall'altro di confrontare due diverse v.c. e vedere il loro comportamento in condizioni limite.

La funzione generatrice dei momenti g(t) di una variabile casuale X è definita come il valore atteso di $e^{tX}$, dove esso è finito (e ciò può accadere solo in un intorno dello 0, in cui vale 1 indipendentemente da X). Infatti tale valore atteso potrebbe essere infinito e in tal caso si dice semplicemente che X non possiede funzione generatrice dei momenti.

Nel caso di variabili casuali discrete si ottiene

$\ g(t) = \mbox{E}[e^{tX}] = \sum_{i=1}^{n} p_{i} e^{tX_{i}}$

mentre per la variabili casuali continue:

$\ g(t) = \mbox{E}[e^{tX}] = \int_{-\infty}^{\infty} e^{tx}f_{X}(x)dx$

dove $\ p_{i},\ i=1,\ldots,n$, $f_{X}(x)$ denotano le funzioni di massa (densità nel caso continuo) della v.c. in questione.

Dalla f.g.m. è possibile ricavare i momenti semplici di ordine k derivando k volte g(t) con t=0. Vale a dire:

$\ \mu_{1} = \frac{dg}{dt}|_{t=0}=g'(0)$

$\ \mu_{2} = \frac{d^{2}g}{dt^{2}}|_{t=0}=g''(0)$

$\ \ldots$

dall'ultima espressione sopra si può ad esempio ricavare la varianza.

Teoremi

Se $\ X_1, X_2, \ldots, X_n$ sono v.c. indipendenti e $\ X$ la loro somma:

$\ X = X_1 + X_2 + \cdots + X_n$

allora la funzione generatrice dei momenti di $\ X$ è il prodotto delle funzioni generatrici dei momenti delle singole $\ X_i$:

$\ g(t;X) = \prod_{i=1}^{n}g(t;X_{i})$.

Bibliografia

• Giorgio Dall'Aglio, Calcolo delle probabilità, Zanichelli, Bologna, 2003

Voci correlate

• Momento (statistica)
• Variabile casuale
• Valore atteso
• Funzione caratteristica (teoria della probabilità)

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