Momento (statistica)

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In statistica, il momento semplice o teorico di origine m e ordine k di una variabile casuale è definito come il valore atteso della k-esima potenza dei valori

 \mu_m,_k = \sum_{i=1}^{n} (x_i - m)^k p_i , dove p_i denota la funzione di massa di probabilità della variabile casuale.

ovvero, nel caso di una distribuzione continua

 \mu_m,_k = \int_{-\infin}^{+\infin} (x-m)^k p_X(x) dx

dove p_X(x) denota la funzione di densità della variabile casuale.

Si definisce momento centrale un momento semplice con origine {E}(X) e di ordine k come la speranza matematica della k-esima potenza dello scarto da {E}(X) (\mu = \mu_0,_1)

 m_k = \sum_{i=1}^{n}  (x_i - \mu)^k p_i

ovvero, nel caso di una v.c. continua

 m_k = \int_{-\infty}^{\infty} (x-\mu)^k p_X(x)dx

dove \mu denota appunto il valore atteso della variabile casuale.

Caratteristiche di tali momenti semplici e centrali sono:

  • μ0 e m0 sono sempre uguali all'unità
  • m1 è sempre nullo
  • μ1 è la media aritmetica, indicata tradizionalmente con μ
  • m2 = μ2 - μ1² è la varianza, indicata tradizionalmente con σ²

In generale, la relazione tra il momento centrale (mk) e i momenti semplicil) è data da:

 m_k = \sum_{r=0}^{k}  C(k;r) \mu_{k-r} (-\mu)^r

per cui, oltre a quanto indicato sopra:

  • m3 = μ3 - 3μ2μ + 2μ3 è la asimmetria, o skewness
  • m4 = μ4 - 4μ3μ + 6μ2μ2 - 3μ4 è la curtosi

Voci correlate[modifica | modifica sorgente]

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