Momento (statistica)

In statistica, il momento semplice o teorico di origine m e ordine k di una variabile casuale è definito come il valore atteso della k-esima potenza dei valori

$\mu_m,_k = \sum_{i=1}^{n} (x_i - m)^k p_i$, dove $p_i$ denota la funzione di massa di probabilità della variabile casuale.

ovvero, nel caso di una v.c. continua

$\mu_m,_k = \int_{-\infin}^{+\infin} (x-m)^k p_X(x) dx$

dove $p_X(x)$ denota la funzione di densità della variabile casuale.

Si definisce momento centrale un momento semplice con origine ${E}(X)$ e di ordine k come la speranza matematica della k-esima potenza dello scarto da ${E}(X)$ ($\mu$ = $\mu_0,_1$)

$m_k = \sum_{i=1}^{n} (x_i - \mu)^k p_i$

ovvero, nel caso di una v.c. continua

$m_k = \int_{-\infty}^{\infty} (x-\mu)^k p_X(x)dx$

dove $\mu$ denota appunto il valore atteso della variabile casuale.

Caratteristiche di tali momenti semplici e centrali sono:

• μ₀ e m₀ sono sempre uguali all'unità
• m₁ è sempre nullo
• μ₁ è la media aritmetica, indicata tradizionalmente con μ
• m₂ = μ₂ - μ₁² è la varianza, indicata tradizionalmente con σ²

In generale, la relazione tra il momento centrale (m_k) e i momenti semplici (μ_l) è data da:

$m_k = \sum_{r=0}^{k} C(k;r) \mu_{k-r} (-\mu)^r$

per cui, oltre a quanto indicato sopra:

• m₃ = μ₃ - 3μ₂μ + 2μ³ è la asimmetria, o skewness
• m₄ = μ₄ - 4μ₃μ + 6μ₂μ² - 3μ⁴ è la curtosi

Voci correlate

• media
• varianza
• simmetria (statistica), o skewness
• curtosi
• statistica
• variabile casuale
• momenti di un'immagine

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