Momento (statistica)

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In probabilità, il momento semplice o teorico di origine m e ordine k di una variabile casuale è definito come il valore atteso della k-esima potenza dei valori

 \mu_m,_k = \sum_{i=1}^{n} (x_i - m)^k p_i,

dove p_i denota la funzione di massa di probabilità della variabile casuale.

oppure, nel caso di una distribuzione continua,

 \mu_m,_k = \int_{-\infin}^{+\infin} (x-m)^k p_X(x) dx

dove p_X(x) denota la funzione di densità della variabile casuale.

Si definisce momento centrale un momento semplice con origine {E}(X) e di ordine k come la speranza matematica della k-esima potenza dello scarto da {E}(X) (\mu = \mu_0,_1)

 m_k = \sum_{i=1}^{n}  (x_i - \mu)^k p_i

oppure, nel caso di una variabile casuale continua,

 m_k = \int_{-\infty}^{\infty} (x-\mu)^k p_X(x)dx

dove \mu denota appunto il valore atteso della variabile casuale.

Caratteristiche di tali momenti semplici e centrali sono:

  • \mu_0 e m_0 sono sempre uguali all'unità
  • m_1 è sempre nullo
  • \mu_1 è il valore atteso, indicata tradizionalmente con \mu
  • m_2 = \mu_2 - \mu_1^2 è la varianza, indicata tradizionalmente con \sigma^2

In generale, la relazione tra il momento centrale m_k e i momenti semplici \mu_j è data da:

 m_k = \sum_{r=0}^{k}  {k \choose r} \mu_{k-r} (-\mu)^r,

dove {k \choose r} è il coefficiente binomiale. Per cui, oltre a quanto indicato sopra, si ha:

Voci correlate[modifica | modifica sorgente]

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