Processo di Wiener

In statistica, un processo di Wiener è un processo gaussiano in tempo continuo con incrementi indipendenti, usato per modellizzare il moto browniano e diversi fenomeni casuali osservati nell'ambito della matematica applicata, della finanza e della fisica. È uno dei processi di Lévy meglio conosciuti. Il processo di Wiener ricopre un ruolo importante anche in matematica pura, dove diede vita allo studio della martingala a tempo continuo, che risultò fondamentale per la descrizione e la modellizzazione di processi stocastici più complessi. Per questo questo tipo di processo ricopre un ruolo vitale nel calcolo stocastico, nei processi di diffusione e anche nella teoria del potenziale. In matematica applicata, il processo di Wiener è usato per rappresentare l'integrale del rumore bianco gaussiano; ed è molto utile come modello del rumore in ingegneria elettronica, nella teoria dei filtri e per rappresentare gli ingressi sconosciuti nella teoria dei controlli.

Definizione formale

Per ogni numero positivo $\ t$, si denoti il valore assunto dal processo al tempo $\ t$ con $\ W_{t}$. Il processo è caratterizzato dalle seguenti condizioni:

• Il processo parte da 0: $\ W_{0}=0$ quasi sicuramente (con probabilità 1);

• Le traiettorie (ossia, tutte le funzioni $\ W(t)$, $t\in\mathbb{R}_+$, realizzazioni di un processo di Wiener) sono continue quasi sicuramente;

• Per $\ 0\leq s<t$:

$\ W_{t}-W_{s}\sim N\left(0,(t-s)\right)$

dove $\ N(\mu,\sigma^{2})$ denota una distribuzione normale con media $\ \mu$ e varianza $\ \sigma^{2}$;

• Per $\ 0\leq s\leq t\leq u\leq v$ (i due intervalli $\ [s,t[$ e $\ [u,v[$ non si sovrappongono):

$\ W_{t}-W_{s}$ e $\ W_{v}-W_{u}$

sono variabili casuali indipendenti.

Una misura di Wiener è una legge di probabilità sullo spazio delle funzioni continue $\ g:\ g(0)=0$ indotta dal processo di Wiener. Un integrale basato su una misura di Wiener è detto integrale di Wiener.

Si noti che, per ogni $\ t\in \mathbb{R}_+$, $\ W_{t}$ ha la stessa legge della variabile aleatoria $\ N \sqrt {t}$ dove il fattore $\ N$ rappresenta una variabile aleatoria distribuita gaussianamente con media nulla e varianza unitaria, e che $\ W_{t}-W_{s}$ ha la stessa legge di $\ N \sqrt {t-s}$. Chiaramente, $\ N\sqrt{t},\ t\in \mathbb{R}_{+},$ non è un processo di Wiener, poiché le sue traiettorie sono monotone mentre si può dimostrare che quasi nessuna traiettoria di un processo di Wiener è localmente monotona.

Differenziale del processo di Wiener

Se si considera il processo di Wiener in corrispondenza di un lasso di tempo sufficientemente piccolo si ottiene l'incremento infinitesimo di tale processo nella forma

$\ W_{t+dt}-W_{t}=\delta W_{t}= N \sqrt {dt}$ (1)

la quale può scriversi come

$\frac {W_{t+dt}-W_{t}}{dt}= \frac {N} {\sqrt {dt}}$

Tale processo non è a variazione limitata, e per questo non risulta differenziabile nell'ambito dell'analisi classica. Infatti la precedente tende ad infinito al tendere a zero dell'intervallo $\ dt$.

Accantonati in parte gli strumenti dell'analisi classica, il differenziale del processo di Wiener può essere comunque definito in senso stocastico. Infatti, essendo la varianza di tale processo $\ \textrm{E}(W_{t}^2)-\textrm{E}^2(W_{t})=t$ ed essendo il valore atteso di tale processo nullo $\ \textrm{E}(W_{t})=\textrm{E}^2(W_{t})=0$ si ha che la media quadratica del processo di Wiener coincide con il tempo trascorso, ovvero $\ \textrm{E}(W_{t}^2)=t$.

In base a ciò possiamo definire il differenziale di un processo di Wiener tramite il differenziale della media quadratica di tale processo. Ovvero il differenziale di $\ W_{t}$ rispetto al tempo è $\ dW_{t}$ in quanto il differenziale di $\ t$ è $\ dt$.

In altre parole il differenziale di un processo di Wiener è quel processo la cui media quadratica coincide con il differenziale della media quadratica del processo di Wiener da differenziare. (In formule $\ E(dW_{t}^2)=dE(W_{t}^2)$)

In base a quanto sopra esposto si può definire il differenziale di un processo di Wiener con la formula

$\ dW_{t}=N \sqrt {dt}$

la quale, confrontata con la (1), mostra che secondo l'approccio stocastico $\ \delta W_{t}$ coincide proprio con $\ dW_{t}$, e sussistono le proprietà $\ \textrm{E}(dW_{t})=0$ ed $\ \textrm{var}(dW_{t})= dt$.

In termini meno formali il differenziale del processo di Wiener non è altro che un processo di Wiener considerato in un lasso di tempo infinitesimo.

Un'interessante proprietà del processo di Wiener è l'approssimativa non stocasticità del fattore $\ dW_{t}^2$ al tendere a zero del fattore temporale $\ dt$.

Voci correlate

• Processo di Markov

Bibliografia

• T. Hida, Brownian Motion, Springer, 1980.
• I. Karatzas, S. Shreve, Brownian Motion and Stochastic Calculus, Springer, 1998.
• Revuz D., M. Yor, Continuous Martingales and Brownian Motion, Springer, 1991.

Collegamenti esterni

• Un'introduzione al processo di Wiener e alle equazioni stocastiche di Enrico Priola.

• Processi di Wiener ed applicazioni di Paolo Caressa.

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