Lemma di Itō

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In matematica, il lemma di Itō è usato nel calcolo stocastico al fine di computare il differenziale di una funzione di un particolare tipo di processo stocastico. Trova ampio impiego nella matematica finanziaria.

Il lemma è un'estensione dello sviluppo in serie di Taylor che si usa per funzioni deterministiche, ossia senza termine casuale, ed è applicabile per una funzione stocastica, ossia con un termine in dW. Tale termine non è un differenziale esatto e rappresenta la componente casuale di una variabile aleatoria. dW è l'abbreviazione che indica un processo di Wiener, usato per rappresentare il moto delle particelle nella teoria cinetica dei gas. In frazioni piccole a piacere della variabile temporale, una grandezza di questo tipo manifesta comunque un'elevata variabilità.

Dal lemma di Itō si ricava l'integrale di Itō, che estende e generalizza l'integrale di Riemann per funzioni stocastiche. Diversamente dall'integrale di Riemann, non ha un significato geometrico, non è un'area.

Enunciato del lemma[modifica | modifica wikitesto]

Sia x(t) un processo di Itō (o processo di Wiener generalizzato); in altre parole, x(t) soddisfa l'equazione differenziale stocastica:

dx(t) = a(x,t)dt + b(x,t)dW_{t}

Sia inoltre una funzione f, avente derivata seconda continua. Allora:

  • f(x(t),t) è ancora un processo di Itō;
  • Si ha:
df(x(t),t)= \left(a(x,t)\frac{\partial f}{\partial x}+\frac{\partial f}{\partial t}+\frac{1}{2}(b(x,t))^{2}\frac{\partial^{2}f}{\partial x^{2}}\right)dt+b(x,t)\frac{\partial f}{\partial x}dW_{t}

Giustificazione informale del risultato[modifica | modifica wikitesto]

Tramite un'espansione in serie di Taylor di \ f(x(t),t) si ottiene:

df= \frac{\partial f}{\partial x}dx + \frac{\partial f}{\partial t}dt + \frac{1}{2}\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}dx^2+\cdots

Sostituendo dx dalla SDE sopra si ha:

df= \frac{\partial f}{\partial x}(adt+bdW_t) + \frac{\partial f}{\partial t}dt + \frac{1}{2}\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}\left(a^2 dt^2+2ab\,dt\,dW_t+b^2dW_t^2\right)+\cdots

Lo sviluppo in serie di Taylor viene di solito troncato al primo ordine; già questo consente una buona approssimazione della funzione di partenza. In questo caso, bisogna considerare che i termini in dW^2 vanno come quelli in dt^1; avendo lo stesso ordine di grandezza troncando al primo ordine, devono essere considerati anche i termini in dW^2. Passando al limite per dt tendente a 0, i termini dtdW_t,dt^2 scompaiono. Infatti, nei limiti infinitesimi (a zero) prevale la potenza con esponente più basso, che arriva a zero più lentamente degli altri termini. Per contro (dW_{t})^{2} tende a dt; quest'ultima proprietà può essere dimostrata provando che:

dW^2 = \textrm{E}\left(dW^2\right) se \textrm{E}\left(dW^2\right)=dt

Sostituendo questi risultati nell'espressione per df si ottiene:

df = \left(a\frac{\partial f}{\partial x} + \frac{\partial f}{\partial t} + \frac{1}{2}b^{2}\frac{\partial^{2}f}{\partial x^{2}}\right)dt + b\frac{\partial f}{\partial x}dW_{t}

come richiesto. Una dimostrazione formale di questo risultato richiede la definizione di un integrale stocastico.

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

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