Distribuzione chi quadrato non centrale

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distribuzione \chi^2 non centrale
Funzione di densità di probabilità
Chi-Squared-(nonCentral)-pdf.png
Funzione di ripartizione
Chi-Squared-(nonCentral)-cdf.png
Parametri k\in\mathbb{N}\setminus\{0\}\ (gradi di libertà)
\lambda\geqslant0\ non centralità
Supporto x \in [0, \infty[
Funzione di densità \frac{1}{2}e^{-(x+\lambda)/2}\left (\frac{x}{\lambda} \right)^{k/4-1/2} I_{k/2-1}(\sqrt{\lambda x})
Funzione di ripartizione \sum_{j=0}^\infty e^{-\lambda/2} \frac{(\lambda/2)^j}{j!} \frac{\gamma(j+k/2,x/2)}{\Gamma(j+k/2)}
Valore atteso k+\lambda
Mediana
Moda
Varianza 2(k+2\lambda)
Indice di asimmetria \frac{2^{3/2}(k+3\lambda)}{(k+2\lambda)^{3/2}}
Curtosi \frac{12(k+4\lambda)}{(k+2\lambda)^2}
Entropia
Funzione generatrice dei momenti \frac{ e^{\lambda t/(1-2t)} }{ (1-2 t)^{k/2} } per 2t<1
Funzione caratteristica \frac{ e^{i\lambda t/(1-2it)} }{ (1-2it)^{k/2} }

In teoria delle probabilità una distribuzione \chi^2 non centrale (chi quadrato, o chi quadro), è una distribuzione di probabilità che generalizza la distribuzione \chi^2, descrivendo la somma dei quadrati di variabili aleatorie con distribuzioni normali ridotte ma non centrate.

In statistica viene impiegata per l'analisi della varianza e per alcuni test di verifica d'ipotesi.

Definizione[modifica | modifica sorgente]

La distribuzione \chi^2(k,\lambda) descrive la variabile aleatoria

\textstyle X^2=\sum_{i=1}^k X_i^2=X_1^2+\ldots+X_k^2,

dove X_1,...,X_k sono variabili aleatorie variabili indipendenti aventi distribuzioni normali ridotte (ma non necessariamente centrate) \mathcal{N}(\mu_1,1),...,\mathcal{N}(\mu_k,1), i cui valori attesi soddisfano

\textstyle\lambda=\sum_{i=1}^k\mu_i^2.

Il parametro k è detto numero dei gradi di libertà e \lambda è il parametro di non centralità. (La notazione per \lambda non è uniforme: alcuni autori prendono \lambda pari alla metà, oppure alla radice quadrata di questa somma.)

In particolare, per \lambda=0 le variabili X_i sono centrate e si ottiene nuovamente la distribuzione χ2:

\chi^2(k,0)=\chi^2(k)\

È possibile definire la distribuzione χ2 non centrale anche tramite variabili aleatorie indipendenti Y_1,...,Y_i di distribuzione normale standard \mathcal{N}(0,1), prendendo X_i=Y_i+\mu_i, ovvero

\textstyle X^2=\sum_{i=1}^k(Y_i+\mu_i)^2\ .

Indipendenza di λ[modifica | modifica sorgente]

La distribuzione \chi^2(k,\lambda) dipende da λ e non dai singoli valori μi.

Sullo spazio euclideo di dimensione k, infatti, si possono considerare i vettori

\bar{X}=(X_1,\ \ldots,\ X_k)=(Y_1,\ \ldots,\ Y_k)+(\mu_1, \ldots,\ \mu_k)=\bar{Y}+\bar{\mu};

la distribuzione di probabilità del vettore normale multivariato \bar{Y} è isotropa, ovvero invariante per isometria. In particolare la variabile aleatoria X^2, che è il quadrato della norma di \bar{X}=\bar{Y}+\bar{\mu}, dipende dalle \mu_i solo in termini della norma di (\mu_1,...,\mu_k), ovvero \sqrt{\lambda}.

Proprietà[modifica | modifica sorgente]

Somma[modifica | modifica sorgente]

Per definizione, la somma di variabili aleatorie di distribuzioni χ2 non centrali è ancora una variabile aleatoria di distribuzione χ2 non centrale (somma dei quadrati di variabili normali ridotte).

Più precisamente, la somma di due variabili aleatorie con distribuzioni \chi^2(k',\lambda') e \chi^2(k'',\lambda'') è una variabile aleatoria con distribuzione \chi^2(k,\lambda), con k=k'+k'' e \lambda^2=\lambda'^2+\lambda''^2.

Mistura di distribuzioni χ2[modifica | modifica sorgente]

La distribuzione χ2 non centrale può essere espressa come mistura di distribuzioni χ2, pesate secondo la distribuzione di Poisson.

In altri termini è la distribuzione di una variabile aleatoria Z, dipendente da una variabile aleatoria J di legge di Poisson \mathcal{P}(\lambda/2), con distribuzione condizionata di Z rispetto a J data da \chi^2(k+2J).

In particolare di χ2(k,λ) si possono descrivere

la densità di probabilità 
f_{k,\lambda} = \sum_{j=0}^\infty \frac{e^{-\lambda/2} (\lambda/2)^j}{j!} f_{k+2j,0}(x),
e la funzione di ripartizione F_{k,\lambda} = \sum_{j=0}^\infty e^{-\lambda/2} \frac{(\lambda/2)^j}{j!} F_{k+2j,0}

tramite la densità di probabilità f_{k+2j,0} e la funzione di ripartizione F_{k+2j,0} delle distribuzioni χ2(k+2j).

Caratteristiche[modifica | modifica sorgente]

La funzione generatrice dei momenti della distribuzione χ2(k,λ) non centrale è

g(t)=E[e^tZ]=\frac{e^{\lambda t/(1-2t)}}{(1-2t)^{k/2}}

I primi momenti semplici della distribuzione sono

\mu'_1=k+\lambda
\mu'_2=(k+\lambda)^2 + 2(k + 2\lambda)
\mu'_3=(k+\lambda)^3 + 6(k+\lambda)(k+2\lambda)+8(k+3\lambda)
\mu'_4=(k+\lambda)^4+12(k+\lambda)^2(k+2\lambda)+4(11k^2+44k\lambda+36\lambda^2)+48(k+4\lambda)

e i suoi primi momenti centrali sono

\mu_2=2(k+2\lambda)
\mu_3=8(k+3\lambda)
\mu_4=12(k+2\lambda)^2+48(k+4\lambda)

La funzione caratteristica di χ2(k,λ) è [1]

\phi(t)=\frac{e^{it\lambda/(1-i2t)}}{(1-i2t)^{k/2}}.

Formule alternative[modifica | modifica sorgente]

Densità di probabilità[modifica | modifica sorgente]

La densità di probabilità f_{k,\lambda} della distribuzione χ2(k,λ) non centrale può essere descritta tramite altre formule.

Una formula alternativa è

f_{k,\lambda}=\frac{1}{2} e^{-(x+\lambda)/2} \left (\frac{x}{\lambda}\right)^{k/4-1/2} I_{k/2-1}(\sqrt{\lambda x})

dove

 I_a(y) := (y/2)^a \sum_{j=0}^\infty \frac{ (y^2/4)^j}{j! \Gamma(a+j+1)}

è una funzione di Bessel del primo tipo, modificata.

Una terza formula è [2]

f(x)=e^{-\frac{\lambda}{2}}\sum_{r=0}^{\infin}{\frac{(\frac{\lambda}{2})^r\ e^{-\frac{x}{2}}\ x^{\frac{n}{2}+r-1}}{2^{\frac{n}{2}+r}\ r!\ \Gamma(\frac{n}{2}+r)}}
=\frac{e^{-\frac{x+\lambda}{2}}}{x}(\frac{x}{2})^\frac{n}{2}\sum_{r=0}^{\infin}{\frac{(\frac{\lambda}{2})^r\ x^r}{2^r\ r!\ \Gamma(\frac{n}{2}+r)}} per x>0

Funzione di ripartizione[modifica | modifica sorgente]

Anche la funzione di ripartizione F_{k,\lambda} della distribuzione χ2(k,λ) non centrale può essere descritta tramite altre formule. In particolare in statistica sono stati proposti alcuni metodi per cercare di calcolarne alcuni valori F_{k,\lambda}(x_0).

Una formula ricorsiva, basata sulla funzione di ripartizione della distribuzione χ2 (centrale) è [3]

\textstyle F_{k,\lambda}(x) = F_{\frac{n}{2},0}(x) + \sum_{r>0} P_{r}(\frac{x}{2})\

dove

\textstyle P_0(x)=0 \qquad P_1(x)=\frac{\lambda}{2}\frac{e^{-x}x^{n/2}}{\Gamma(n/2+1)}
\textstyle P_r(x)=\frac{\lambda^2}{4}\frac{2(r-2)}{r(r-1)(n/2+r-1)}P_{r-2}(x) - \frac{\lambda}{2}\frac{n/2 + 2r - 3 - x}{r(n/2 + r - 1)}P_{r-1}(x)

Valori approssimati si possono invece ottenere tramite la distribuzione Gamma e i primi due[4] o tre[5] momenti, oppure tramite la distribuzione normale.[6]

Distribuzioni non centrali[modifica | modifica sorgente]

Utilizzando la distribuzione χ2 non centrale come generalizzazione della distribuzione χ2 (centrale) è possibile definire versioni non centrali delle distribuzioni t di Student, F di Fisher-Snedecor e Beta.

Note[modifica | modifica sorgente]

  1. ^ (EN) M.A. Sanders, Characteristic function of the noncentral chi-square distribution. URL consultato il 7 marzo 2009.
  2. ^ D. Kerridge, Gives a very interesting probabilistic derivation in Aust. J. Statist., 1965.
  3. ^ M. L. Tiku, Uses Laguerre polynomials to represent the noncentral chi-quare distribution in Biometrika, 1965.
  4. ^ P. B. Patnaik, Points out some interesting geometrical features in Biometrika, 1949.
  5. ^ E. Pearson, Studies the accuracy of the three-moment chi-square approximation in Biometrika, 1959.
  6. ^ S. Abdel-Aty, Gives various Cornish-Fisher-type approximations in Biometrika, 1954.

Voci correlate[modifica | modifica sorgente]

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