Test di Shapiro-Wilk

Il test di Shapiro-Wilk è un test per la verifica di ipotesi statistiche ed è considerato in letteratura uno dei test più potenti per la verifica della normalità, soprattutto per piccoli campioni. Venne introdotto nel 1965 da Samuel Shapiro e Martin Wilk.

La verifica della normalità avviene confrontando due stimatori alternativi della varianza $\sigma^2$: uno stimatore non parametrico basato sulla combinazione lineare ottimale della statistica d'ordine di una variabile aleatoria normale al numeratore, e il consueto stimatore parametrico, ossia la varianza campionaria, al denominatore.

$W = {\left(\sum_{i=1}^n a_i x_{(i)}\right)^2 \over \sum_{i=1}^n (x_i-\overline{x})^2}$

dove

• x_(i) (indice i incluso tra parentesi) è l'i-esimo valore più piccolo (rango i) del campione
• $\overline{x}=(x_1+\cdots+x_n)/n$ è la media aritmetica del campione
• e le costanti a_i sono date da

$(a_1,\dots,a_n) = {m^\top V^{-1} \over (m^\top V^{-1}V^{-1}m)^{1/2}}$

dove

$m = (m_1,\dots,m_n)^\top$

e m₁, ..., m_n sono i valori attesi dei ranghi di un numero casuale standardizzato, e V è la matrice delle covarianze di questi ranghi.

La statistica W può assumere valori da 0 a 1. Qualora il valore della statistica W sia troppo piccolo, il test rifiuta l'ipotesi nulla che i valori campionari siano distribuiti come una variabile casuale normale.

I pesi per la combinazione lineare sono disponibili su apposite tavole. La statistica W può essere interpretata come il quadrato del coefficiente di correlazione in un diagramma quantile-quantile.

Bibliografia

• Sam S. Shapiro, Martin Bradbury Wilk (1965). "An analysis of variance test for normality (complete samples)", Biometrika, 52, 3 e 4, pagine 591-611.

Voci correlate

• Test di Jarque-Bera, impiegato molto spesso per la verifica dell'ipotesi di normalità in campo econometrico
• Test di Anderson-Darling
• Test di Kolmogorov-Smirnov
• Test di Cramér-von-Mises