Test di Jarque-Bera

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Il test di Jarque-Bera è un test statistico per la verifica dell’ipotesi di normalità ed è impiegato molto spesso in campo econometrico. Esso si basa sulla misura dell'asimmetria e della curtosi di una distribuzione.

Si considera in particolare la distribuzione asintotica di una combinazione dei noti coefficienti \beta_3 e \beta_4 (o \gamma_3 e \gamma_4) che è di tipo chi-quadro

La variabile testata è


\mathit{JB} = \frac{n}{6} \left( S^2 + \frac{(K-3)^2}{4} \right),

dove n è il numero delle osservazioni (o gradi di libertà), S è l'asimmetria del campione, K è la curtosi del campione definiti come


S = \frac{ \mu_3 }{ \sigma^3 } = \frac{ \mu_3 }{ \left( \sigma^2 \right)^{3/2} } = \frac{ \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \left( x - \bar{x} \right)^3}{ \left( \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \left( x - \bar{x} \right)^2 \right)^{3/2}}

K = \frac{ \mu_4 }{ \sigma^4 } = \frac{ \mu_4 }{ \left( \sigma^2 \right)^{2} } = \frac{\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \left( x - \bar{x} \right)^4}{\left( \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \left( x - \bar{x} \right)^2 \right)^2}

dove μ3 e μ4 sono il terzo e quarto momento centrale, \bar{x} è la media campionaria e σ2 è la varianza.

La statistica JB è distribuita asintoticamente come una variabile casuale chi quadro con due gradi di libertà e può essere usata per testare l'ipotesi nulla che il campione è stato estratto da una popolazione di dati distribuiti come una variabile casuale normale.

L'ipotesi nulla è un'ipotesi congiunta che sia asimmetria che curtosi siano nulle. Tale ipotesi viene rigettata per valori di JB troppo grandi.

Questo test è utilizzato frequentemente per determinare se i residui di una regressione lineare sono normali. Certi autori[1] propongono di correggere JB con il numero di variabili usate nella regressione, mentre altri[2] non lo menzionano affatto.

Note[modifica | modifica sorgente]

  1. ^ page 275 de Lardic, Mignon (2002), Econométrie des séries temporelles macroénonomiques et financières, Economica, Paris,
  2. ^ page 174 de Verbeek (2000) Modern Econometrics, Wiley

Bibliografia[modifica | modifica sorgente]

  • Bera, Anil K.; Carlos M. Jarque (1980). "Efficient tests for normality, homoscedasticity and serial independence of regression residuals". Economics Letters 6 (3): 255–259.
  • Bera, Anil K.; Carlos M. Jarque (1981). "Efficient tests for normality, homoscedasticity and serial independence of regression residuals: Monte Carlo evidence". Economics Letters 7 (4): 313–318.
  • Jarque, C. M. & Bera, A. K. [1987], A test for normality of observations and regression residuals, International Statistical Review 55, 163–172.

Voci correlate[modifica | modifica sorgente]