Teorema della probabilità assoluta

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In teoria della probabilità il teorema della probabilità assoluta afferma che se \ A_1,\ldots,A_n formano una partizione dello spazio campionario di tutti gli eventi possibili \ \Omega (ossia \ A_i\cap A_j=\varnothing\ \forall i \neq j e \cup_{i=1}^n A_i=\Omega) e \ B è un qualsiasi evento (dipendente dagli eventi Ai), allora:

\mbox{P}(B)=\sum_{i=1}^n\mbox{P}(A_i \cap B)=\sum_{i=1}^n\mbox{P}(A_i)\mbox{P}(B|A_i)

[modifica] Dimostrazione

La dimostrazione di questo risultato segue immediatamente dal fatto che:

\ B=(A_1\cap B)\cup(A_2\cap B)\cup\cdots\cup(A_n\cap B)

dunque, per l'additività della probabilità, essendo gli eventi a due a due incompatibili:

\ \mbox{P}(B)=\sum_i \mbox{P}(A_i\cap B)

Ma poiché, in base alla definizione di probabilità condizionata: \ \mbox{P}(A_i\cap B)=\mbox{P}(A_i)\mbox{P}(B|A_i), si ha:

\ \mbox{P}(B)=\sum_i \mbox{P}(A_i)\mbox{P}(B|A_i)

come volevasi dimostrare.

[modifica] Voci correlate


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