Lemma di Jordan

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Il Lemma di Jordan (dal nome del suo ideatore, il matematico francese Camille Jordan) è usato nell'Analisi complessa per la risoluzione di integrali impropri tramite il calcolo di particolari integrali di linea.

Enunciato[modifica | modifica wikitesto]

Data una  f(z) continua su  \mathbb C , sia \gamma_R un arco di circonferenza incentrato nell'origine del piano di Gauss la cui ascissa curvilinea si estenda tra 0\leq\theta_1<\theta_2\leq\pi e raggio R; se

 \lim_{R \rightarrow +\infty}\max_{\theta\in[\theta_1;\theta_2]}|f(Re^{i\theta})|=0

allora

 \lim_{R \rightarrow +\infty} \int_{\gamma_R} f(z)\,e^{i\omega\,z} dz=0

ove \omega è un numero reale positivo.

Si nota che tale arco di circonferenza è posto nel semipiano superiore del piano di Gauss, in realtà basta che \gamma_R sia omotopo ad un arco di circonferenza!

Dimostrazione[modifica | modifica wikitesto]

Essendo per ipotesi

\max_{z\in\gamma_R}\left|f(z)\right|=M_R\Rightarrow\lim_{R\rightarrow+\infty}M_R=0

allora parametrizzando \gamma_R(t)=Re^{it}

0\leq\left|\int_{\gamma_R}f(z)e^{i\omega z}dz\right|\leq\int_{\theta_1}^{\theta_2}\left|f(Re^{it})e^{iRe^{it}}iR\right|dt\leq R\int_{\theta_1}^{\theta_2}\left|f(Re^{it})\right|\cdot\left|e^{i\omega Re^{it}}\right|dt\leq M_RR\int_{\theta_1}^{\theta_2}\left|e^{i\omega Re^{it}}\right|dt

in particolare

\left|e^{i\omega Re^{it}}\right|=\left|e^{\omega Ri(\cos t+i\sin t)}\right|=\left|e^{\omega R(i\cos t-\sin t)}\right|\leq e^{-\omega R\sin t}

quindi

0\leq\left|\int_{\gamma_R}f(z)e^{i\omega z}dz\right|\leq M_RR\int_{\theta_1}^{\theta_2}e^{-\omega R\sin t}dt\leq M_RR\int_0^{\pi}e^{-\omega R\sin t}dt=2M_RR\int_0^{\frac{\pi}{2}}e^{-\omega R\sin t}dt

la funzione g(t)=\sin t,\,t\in\bigg[0,\frac{\pi}{2}\bigg] è minorata dalla funzione h(t)=\frac{2}{\pi}t,\,t\in\bigg[0,\frac{\pi}{2}\bigg] quindi

0\leq\left|\int_{\gamma_R}f(z)e^{i\omega z}dz\right|\leq 2M_RR\int_0^{\frac{\pi}{2}}e^{-\omega R\frac{2}{\pi}t}dt=-2M_RR\left[e^{-\omega R\frac{2}{\pi}t}\right]_0^{\frac{\pi}{2}}\cdot\frac{\pi}{2\omega R}=-\frac{\pi}{\omega}M_R\left(e^{-\omega R}-1\right)

passando al limite per R\rightarrow +\infty

0\leq\lim_{R\rightarrow+\infty}\left|\int_{\gamma_R}f(z)e^{i\omega z}dz\right|\leq\lim_{R\rightarrow+\infty}-\frac{\pi}{\omega}M_R\left(e^{-\omega R}-1\right)=0

ovvero l'asserto.

Osservazioni[modifica | modifica wikitesto]

Prima[modifica | modifica wikitesto]

Omettendo l'ipotesi che \lim_{R\to+\infty}M_R=0 resta dimostrata la seguente stima

\bigg|\int_{\gamma_R}f(z)e^{i\omega z}dz\bigg|\leq\frac{\pi}{\omega}M_R(1-e^{-\omega R})\leq\frac{\pi}{\omega}M_R

Seconda[modifica | modifica wikitesto]

L'ipotesi fondamentale del teorema è che l'ascissa curvilinea dell'arco di circonferenza vari nell'intervallo \left[0,\pi\right]. Sembrerebbe essere escluso il caso con \omega negativo, invece, il lemma resta valido con l'ipotesi che l'ascissa curvilinea dell'arco di circonferenza vari nell'intervallo \left[\pi,2\pi\right].

La dimostrazione è analoga fino alla maggiorazione di -\sin t con 1, in quanto, per la periodicità della funzione seno si ottiene la maggiorazione

0\leq\left|\int_{\gamma_R}f(z)e^{i\omega z}dz\right|\leq M_RR\int_{\pi}^{2\pi}e^{-\omega R\sin t}dt=M_RR\int_{-\pi}^0e^{-\omega R\sin t}dt=2M_RR\int^0_{-\frac{\pi}{2}}e^{-\omega R\sin t}dt\leq2M_RR\int_{-\frac{\pi}{2}}^0e^{\omega R}dt

da cui la maggiorazione

0\leq\left|\int_{\gamma_R}f(z)e^{i\omega z}dz\right|\leq\pi e^{\omega R}M_R

Terza[modifica | modifica wikitesto]

In certi integrali risulta impossibile abbinare la curva nel semipiano positivo con esponenziale ad esponente positivo, o viceversa. Un trucco molto utilizzato è il seguente.

Per esempio si potrebbe avere un integrale del genere:

\int_{\gamma_R}f(z)\,e^{-i\omega z}\,dz

con una curva nel semipiano positivo. Si opera così dividendo l'integrale in tre parti

 \int_{\gamma_R}=\int_{\Gamma}-\int_{\tilde{\gamma}_R}

ove su \Gamma si applica il teorema dei residui e tale curva è una circonferenza centrata nell'origine di raggio R.

Invece su \tilde{\gamma}_R si applica il lemma di Jordan, in quanto la curva è nel semipiano negativo con esponenziale ad esponente negativo, quindi l'integrale esteso a \tilde{\gamma}_R apporta un contributo nullo.

Quarta[modifica | modifica wikitesto]

Insieme al lemma del cerchio grande ed al lemma del cerchio piccolo, si riesce a risolvere la tipologia di integrale aventi singolarità isolate, sia su tutto \mathbb R che su una curva chiusa e regolare omotopa ad un arco di circonferenza.

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

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