Lemma di Jordan

Il Lemma di Jordan (dal nome del suo ideatore, il matematico francese Camille Jordan) è usato nell'Analisi complessa per la risoluzione di integrali impropri tramite il calcolo di particolari integrali di linea.

Enunciato

Data una $f(z)$ continua su $\mathbb C$, sia $\gamma_R$ un arco di circonferenza incentrato nell'origine del piano di Gauss la cui ascissa curvilinea si estenda tra $0\leq\theta_1<\theta_2\leq\pi$ e raggio $R$; se

$\lim_{R \rightarrow +\infty}\max_{\theta\in[\theta_1;\theta_2]}|f(Re^{i\theta})|=0$

allora

$\lim_{R \rightarrow +\infty} \int_{\gamma_R} f(z)\,e^{i\omega\,z} dz=0$

ove $\omega$ è un numero reale positivo.

Si nota che tale arco di circonferenza è posto nel semipiano superiore del piano di Gauss, in realtà basta che $\gamma_R$ sia omotopo ad un arco di circonferenza!

Dimostrazione

Essendo per ipotesi

$\max_{z\in\gamma_R}\left|f(z)\right|=M_R\Rightarrow\lim_{R\rightarrow+\infty}M_R=0$

allora parametrizzando $\gamma_R(t)=Re^{it}$

$0\leq\left|\int_{\gamma_R}f(z)e^{i\omega z}dz\right|\leq\int_{\theta_1}^{\theta_2}\left|f(Re^{it})e^{iRe^{it}}iR\right|dt\leq R\int_{\theta_1}^{\theta_2}\left|f(Re^{it})\right|\cdot\left|e^{i\omega Re^{it}}\right|dt\leq M_RR\int_{\theta_1}^{\theta_2}\left|e^{i\omega Re^{it}}\right|dt$

in particolare

$\left|e^{i\omega Re^{it}}\right|=\left|e^{\omega Ri(\cos t+i\sin t)}\right|=\left|e^{\omega R(i\cos t-\sin t)}\right|\leq e^{-\omega R\sin t}$

quindi

$0\leq\left|\int_{\gamma_R}f(z)e^{i\omega z}dz\right|\leq M_RR\int_{\theta_1}^{\theta_2}e^{-\omega R\sin t}dt\leq M_RR\int_0^{\pi}e^{-\omega R\sin t}dt=2M_RR\int_0^{\frac{\pi}{2}}e^{-\omega R\sin t}dt$

la funzione $g(t)=\sin t,\,t\in\bigg[0,\frac{\pi}{2}\bigg]$ è minorata dalla funzione $h(t)=\frac{2}{\pi}t,\,t\in\bigg[0,\frac{\pi}{2}\bigg]$ quindi

$0\leq\left|\int_{\gamma_R}f(z)e^{i\omega z}dz\right|\leq 2M_RR\int_0^{\frac{\pi}{2}}e^{-\omega R\frac{2}{\pi}t}dt=-2M_RR\left[e^{-\omega R\frac{2}{\pi}t}\right]_0^{\frac{\pi}{2}}\cdot\frac{\pi}{2\omega R}=-\frac{\pi}{\omega}M_R\left(e^{-\omega R}-1\right)$

passando al limite per $R\rightarrow +\infty$

$0\leq\lim_{R\rightarrow+\infty}\left|\int_{\gamma_R}f(z)e^{i\omega z}dz\right|\leq\lim_{R\rightarrow+\infty}-\frac{\pi}{\omega}M_R\left(e^{-\omega R}-1\right)=0$

ovvero l'asserto.

Osservazioni

Prima

Omettendo l'ipotesi che $\lim_{R\to+\infty}M_R=0$ resta dimostrata la seguente stima

$\bigg|\int_{\gamma_R}f(z)e^{i\omega z}dz\bigg|\leq\frac{\pi}{\omega}M_R(1-e^{-\omega R})\leq\frac{\pi}{\omega}M_R$

Seconda

L'ipotesi fondamentale del teorema è che l'ascissa curvilinea dell'arco di circonferenza vari nell'intervallo $\left[0,\pi\right]$. Sembrerebbe essere escluso il caso con $\omega$ negativo, invece, il lemma resta valido con l'ipotesi che l'ascissa curvilinea dell'arco di circonferenza vari nell'intervallo $\left[\pi,2\pi\right]$.

La dimostrazione è analoga fino alla maggiorazione di $-\sin t$ con $1$, in quanto, per la periodicità della funzione seno si ottiene la maggiorazione

$0\leq\left|\int_{\gamma_R}f(z)e^{i\omega z}dz\right|\leq M_RR\int_{\pi}^{2\pi}e^{-\omega R\sin t}dt=M_RR\int_{-\pi}^0e^{-\omega R\sin t}dt=2M_RR\int^0_{-\frac{\pi}{2}}e^{-\omega R\sin t}dt\leq2M_RR\int_{-\frac{\pi}{2}}^0e^{\omega R}dt$

da cui la maggiorazione

$0\leq\left|\int_{\gamma_R}f(z)e^{i\omega z}dz\right|\leq\pi e^{\omega R}M_R$

Terza

In certi integrali risulta impossibile abbinare la curva nel semipiano positivo con esponenziale ad esponente positivo, o viceversa. Un trucco molto utilizzato è il seguente.

Per esempio si potrebbe avere un integrale del genere:

$\int_{\gamma_R}f(z)\,e^{-i\omega z}\,dz$

con una curva nel semipiano positivo. Si opera così dividendo l'integrale in tre parti

$\int_{\gamma_R}=\int_{\Gamma}-\int_{\tilde{\gamma}_R}$

ove su $\Gamma$ si applica il teorema dei residui e tale curva è una circonferenza centrata nell'origine di raggio $R$.

Invece su $\tilde{\gamma}_R$ si applica il lemma di Jordan, in quanto la curva è nel semipiano negativo con esponenziale ad esponente negativo, quindi l'integrale esteso a $\tilde{\gamma}_R$ apporta un contributo nullo.

Quarta

Insieme al lemma del cerchio grande ed al lemma del cerchio piccolo, si riesce a risolvere la tipologia di integrale aventi singolarità isolate, sia su tutto $\mathbb R$ che su una curva chiusa e regolare omotopa ad un arco di circonferenza.

Voci correlate

• Teorema dei residui
• Analisi complessa
• Lemma del cerchio grande
• Lemma del cerchio piccolo
• Polo (analisi complessa)

Portale Matematica: accedi alle voci di Wikipedia che trattano di matematica