Trasformata di Mellin

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La trasformata di Mellin, il cui nome deriva dal matematico finlandese Hjalmar Mellin, è una trasformata integrale che può essere considerata la versione moltiplicativa della trasformata di Laplace bilatera.

Definizione[modifica | modifica sorgente]

La trasformata di Mellin di una funzione f è data da:

\left\{\mathcal{M}f\right\}(s) = \varphi(s)=\int_0^{\infty} x^{s-1} f(x)dx

Se le condizioni poste dal teorema di inversione di Mellin sono soddisfatte si può definire la trasformata inversa di Mellin:

\left\{\mathcal{M}^{-1}\varphi\right\}(x) = f(x)=\frac{1}{2 \pi i} \int_{c-i \infty}^{c+i \infty} x^{-s} \varphi(s)\, ds

dove l'integrale di linea è valutato lungo una linea verticale nel piano complesso.

Relazione con le altre trasformate[modifica | modifica sorgente]

La trasformata di Laplace bilatera può essere definita a partire dalla trasformata di Mellin nel seguente modo:

 \left\{\mathcal{L} f\right\}(s) = \left\{\mathcal{M} f(-\ln x) \right\}(s)

Viceversa, la trasformata di Mellin può essere definita attraverso la trasformata di Laplace bilatera come:

\left\{\mathcal{M} f\right\}(s) = \left\{\mathcal{L} f(e^{-x})\right\}(s)

La trasformata di Laplace bilatera integra rispetto alla misura di Haar additiva dx, che è invariante sotto traslazione:

d(x+a) = dx

mentre la trasformata di Mellin può essere vista come un'integrazione che utilizza il nucleo integrale x^s rispetto alla misura di Haar moltiplicativa dx / x , che è invariante rispetto ad una dilatazione del tipo x \mapsto ax, e dunque:

\frac{d(ax)}{ax} = \frac{dx}{x}

Si può anche definire la trasformata di Fourier in termini della trasformata di Mellin:

\left\{\mathcal{F} f\right\}(-s) = \left\{\mathcal{L} f\right\}(-is) 
= \left\{\mathcal{M} f(-\ln x)\right\}(-is)

e viceversa:

\left\{\mathcal{M} f\right\}(s) = \left\{\mathcal{L} 
f(e^{-x})\right\}(s) = \left\{\mathcal{F} f(e^{-x})\right\}(-is)

Bibliografia[modifica | modifica sorgente]

  • (EN) A. Erdelyi, W. Magnus, F. Oberhettinger e F. Tricomi Tables of Integral transforms v. 1 (McGrawHill, NY, 1954)
  • (EN) A. H. Zemanian Generalized Integral Transformations cap. 4 (John Wiley & Sons, 1968)
  • (EN) I. N. Sneddon Fourier Transforms cap. 1 (Dover, NY, 1995)
  • (EN) R. B. Paris e D. Kaminski, Asymptotics and Mellin-Barnes Integrals, Cambridge University Press, 2001.
  • (EN) A. D. Polyanin e A. V. Manzhirov, Handbook of Integral Equations, Boca Raton, CRC Press, 1998. ISBN 0-8493-2876-4.
  • (EN) P. Flajolet, X. Gourdon e P. Dumas, Mellin transforms and asymptotics: Harmonic sums in Theoretical Computer Science, vol. 144, n. 1-2, 1995, pp. 3–58.
  • (EN) Janos Galambos e Italo Simonelli, Products of random variables: applications to problems of physics and to arithmetical functions, Marcel Dekker, Inc., 2004. ISBN 0-8247-5402-6.

Voci correlate[modifica | modifica sorgente]

Collegamenti esterni[modifica | modifica sorgente]

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