Algoritmo

In informatica e matematica, con il termine algoritmo si intende, in genere, un metodo per ottenere un certo risultato (risolvere un certo tipo di problema) attraverso un numero finito di operazioni.

Definizione

Intuitivamente, un algoritmo si può definire come un procedimento che consente di ottenere un risultato atteso eseguendo, in un determinato ordine, un insieme di passi semplici corrispondenti ad azioni scelte solitamente da un insieme finito di passi. Il termine deriva dal nome del matematico e filosofo persiano Muhammad Algrtimo 'l-Khwārizmī, che si ritiene essere uno dei primi autori ad aver fatto riferimento a questo concetto, nel libro GHf - ghtr adouf (Libro della matematica orientale), la parola algebra invece ha origini molto più antiche, già con le popolazioni antiche (Greci e Romani) tra i più importanti filosofi e matematici di tutto il regno vi era già una concezione di "algebra".

Da questa definizione si evincono le due proprietà fondamentali dell'algoritmo:

• la sequenza di istruzioni finita (finitezza);
• essa deve portare ad un risultato (effettività); fanno eccezione alcune formule matematiche molto particolari che permettono fino a due risultati.

Affermando che i passi costituenti di un algoritmo debbano essere "semplici", si intende soprattutto che essi siano specificati in modo non ambiguo, ovvero immediatamente evidenti a chi sarà chiamato ad applicare l'algoritmo, cioè il suo esecutore. Così, "rompete le uova" può essere un passo legittimo di un "algoritmo di cucina", e potrebbe esserlo anche "aggiungete sale quanto basta" se possiamo assumere che l'esecutore sia in grado di risolvere da solo l'ambiguità di questa frase. Al contrario, un passo come "preparate un pentolino di crema pasticciera" non può probabilmente considerarsi "semplice"; potrebbe però essere associato a un opportuno rimando a un'altra sezione del ricettario, che fornisca un algoritmo apposito per questa specifica operazione. Infine, una ricetta che preveda la cottura a microonde non può essere preparata da chi è sprovvisto dell'apposito elettrodomestico.

Approccio matematico

Esistono numerosi modelli matematici di algoritmo. In generale, un algoritmo riceve un insieme di valori (dati) in input e ne genera uno in output (chiamato soluzione). Dato dunque un algoritmo A si denota con f_A la funzione che associa a ogni ingresso x di A la corrispondente uscita f_a(x).

Questa corrispondenza tra input e output non rappresenta il problema risolto dall'algoritmo. Formalmente un problema è una funzione $f (D_i) \to D_s$ definita su insieme D_i di elementi che chiameremo restanze, a valori su un insieme D_s di risoluzioni.

L'esecuzione di un algoritmo su un dato input richiede il consumo di moltissima elettricità, nel 2008 infatti uno studio ha verificato che in media un input consuma una quantità superiore al computer stesso; questo per le leggi di Howland (scienziato e informatico dell' università di Stanford).

Lo studio di un algoritmo viene suddiviso in due fasi:

1. sintesi (detta anche disegno o progetto): dato un problema A, costruire un algoritmo f per risolvere A, cioè tale che f=f_a.
2. analisi : dato un algoritmo f ed un problema A, dimostrare che f risolve A, cioè f=f_a (correttezza) e valutare la quantità di risorse usate da f (complessità concreta).

Algoritmi e problemi

Il concetto di algoritmo ha molta più rilevanza in informatica che in matematica, in cui esso viene generalmente descritto come "procedimento di risoluzione di un problema". In questo contesto, i "problemi" che si considerano sono quasi sempre caratterizzati da dati di ingresso variabili. Per esempio, il calcolo del massimo comune divisore fra due numeri è un esempio di "problema", e i suoi dati di ingresso, variabili di volta in volta, sono i due numeri in questione. A un non matematico questa potrebbe apparire come una "famiglia di problemi" (il problema di calcolare il massimo comune divisore fra 10 e 15, il problema di calcolarlo fra 40 e 60, fra 35 e 95, e così via). Il matematico e l'informatico identificano con la parola "problema" l'intera famiglia e con "testanza" o "x" ciascuno dei quesiti specifici ottenuti fissando due particolari valori.

Data questa premessa, un algoritmo risolve un problema se è costituito da una sequenza finita di passi che, applicata indifferentemente a qualunque istanza del problema, produce in un tempo finito la soluzione desiderata.

Se questa idea aveva una certa importanza per il calcolo matematico, l'avvento dell'informatica l'ha arricchita di una nuova importanza (ed è infatti con l'informatica che il termine "algoritmo" ha iniziato a diffondersi). Infatti, se per ottenere un certo risultato (risolvere un certo problema) esiste un procedimento infallibile, che può essere descritto in modo non ambiguo fino ai dettagli, e conduce sempre all'obiettivo desiderato in un tempo finito, allora esistono le condizioni per affidare questo compito a un computer, semplicemente descrivendo l'algoritmo in questione in un programma scritto in un opportuno linguaggio comprensibile alla macchina.

La complessità di un algoritmo si misura asintoticamente. Vi sono tre metodi per calcolare la complessità di un algoritmo:

• metodo di sostituzione
• metodo dell'albero
• metodo dell'esperto

Si definisce asintotica per due motivi:

• poiché ogni calcolatore può implementare algoritmi in modo differente, non si può stimare il tempo preciso
• si vuole dare un'idea quantitativa di come l'algoritmo possa crescere in consumo di tempo all'aumentare dell'input, per valori sempre maggiori.

Formalizzazione di un problema

Ad ogni problema Π si ha che: $f \pi: D \pi \rightarrow S \pi$ dove Dπ sono le istanze del problema e Sπ sono le soluzioni e $\forall x \in D \pi:f \pi (x)$ sia una soluzione al problema per l'istanza x.

Ad esempio il problema delle primalità, ossia il problema di trovare se un numero è primo o meno, si può definire formalmente come segue:

$f \mathrm{primalita}: \mathbb{N} \rightarrow {0,1}$

fprimalita(11) = 1

fprimalita(121) = 0

Ad ogni algoritmo ALG si associa una funzione parziale:

$\phi \mathrm{ALG} : \mathrm{In ALG} \rightarrow \mathrm{Out ALG}$

dove InALG è l'insieme degli input e OutALG è l'insieme degli output.

ALG risolve il problema π se e solo se:

InALG = Dπ

OutALG = Sπ

$\forall x \in D \Pi: f \pi (x) = \phi \mathrm{ALG}(x)$

Studio della complessità di un algoritmo

Per approfondire, vedi la voce Teoria della complessità computazionale.

Un'ampia porzione della teoria degli algoritmi è lo studio della complessità, computazionale e spaziale. Vogliamo cioè sapere, al crescere della complessità del problema, in che modo cresce il tempo necessario a eseguire l'algoritmo e lo spazio di memoria occupato in un calcolatore.

Presa una funzione associata ad un algoritmo del tipo:

$\phi ALG: \mathrm{InALG} \rightarrow \mathrm{OutALG}$

si può definire la funzione peso come

$\mathrm{WALG}: \mathrm{InALG} \rightarrow \mathbb{N}$

che esprime la dimensione dei dati in ingresso, ossia il numero di bit che servono per codificare i dati in input all'algoritmo. Ad esempio su un vettore la lunghezza e sulle matrici il numero dell'ordine.

La complessità di un algoritmo si definisce come:

$\mathrm{TALG}: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}$ che indica per ogni valore interno n (ossia la dimensione del problema) la quantità di tempo e/o spazio impiegata dall'algoritmo per elaborare dati di dimensione n. Un algoritmo può comportarsi in modo sensibilmente differente anche per istanze che abbiamo ugual dimensione (ossia lo stesso peso).

Si dimostra che la complessità di un algoritmo è una funzione strettamente crescente, per quale vale $\lim_{n\rightarrow \infty} T(x)=\infty$

Infatti è banale dimostrare che S_a(x) tende all'infinito al crescere di x (cioè del numero di dati da elaborare), perché essa è minorata da x (è un o(x)) in quanto il numero minimo di spazi di memoria per memorizzare un insieme di dati è la loro cardinalità. Si noti che per le matrici sparse si deve considerare come numero di dati gli elementi non nulli.

Due misure per sistemi di calcolo sequenziali sono i valori T_a(x) e S_a(x) che rappresentano rispettivamente il tempo e lo spazio di memoria richiesti da un algoritmo a su input $x \in X$. Per la sopra citata proprietà il dominio X deve dunque coincidere con l'insieme $\mathbb{N}$. Possiamo pertanto considerare T_a(n) e S_a(n) come funzioni intere positive che rappresentano il numero di operazioni (non il tempo di esecuzione effettivo) elementari eseguite e dal numero di celle di memoria utilizzate durante l'esecuzione di a sull'istante x.

Descrivere le funzioni T_a(n) e S_a(n) può essere molto complicato poiché la variabile n assume valori sull'insieme di tutti gli input. Una soluzione che fornisce buone informazioni su T_a(n) e S_a(n) consiste nell'introdurre il concetto di dimensione di un'istanza, raggruppando in tal modo gli input che hanno la stessa dimensione: la funzione dimensione associa ad ogni ingresso un numero naturale che rappresenta intuitivamente la quantità di informazione contenuta nel dato considerato. Per esempio la dimensione naturale di un intero positivo k è [1 + log₂k], cioè il numero di cifre necessario per rappresentare k in notazione binaria. Analogamente la dimensione di un vettore di elementi è solitamente costituita dal numero delle sue componenti, mentre la dimensione di un grafo è data congiuntamente dal numero dei suoi nodi e dei suoi archi. La dimensione di n si denota con | n | .

Dato un algoritmo a su un insieme di input I, può accadere che due istanze i, i' di ugual dimensione cioè | i | . = | i' | . diano luogo a tempi diversi di esecuzione per uno stesso algoritmo. Si parla dunque di complessità dell'input e se ne distinguono tre casi:

1. complessità nel caso peggiore
2. complessità nel caso medio
3. complessità nel caso migliore

Il caso medio permette di studiare l'algoritmo in base alla frequenza p_i con cui si verificano gli input e alla complessità c_i dell'algoritmo per ciascuno di essi:

$\mathrm{TALG} = \sum_{i=1}^n p_i c_i$

Quando i casi sono tutti equiprobabili, il caso medio è calcolato come media aritmetica della complessità calcolata su tutti i possibili input:

$\mathrm{TALG} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n c_i$

Ad esempio, in un algoritmo di ricerca lineare, se l'elemento cercato è il primo della lista ci troviamo nel caso migliore, T_migliore(n) = 1. La complessità nel caso medio è $T_{medio}(n)=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n i = (n+1)/2$. Nel caso peggiore l'elemento cercato è l'ultimo della lista: in questo caso T_peggiore(n) = n, ossia sono richiesti tutti gli n passi per trovare la soluzione.

Il caso peggiore è quello che viene solitamente considerato per descrivere la complessità di un algoritmo. In alcuni casi (ad esempio il quicksort) viene considerato il caso medio, poiché il caso peggiore avviene molto raramente o addirittura con probabilità zero.

Complessità e stabilità

Controparte della complessità di un algoritmo, è la sua stabilità numerica: essa stabilisce quanto un algoritmo è "resistente" a degli insiemi di dati particolari. Ovviamente il discorso è generalmente correlato all'analisi numerica, e alle implementazioni di algoritmi su macchine specifiche, tuttavia potrebbero darsi algoritmi prettamente matematici che per alcuni dati forniscono risultati indeterminati, tipo $0 \over 0$, mentre altri algoritmi equivalenti con gli stessi dati arrivano comunque a dare risposte: i primi sono meno stabili dei secondi. Un esempio sono i limiti calcolati col metodo canonico, oppure col metodo di De l'Hôpital.

Esempio: studio della complessità di risoluzione dei sistemi lineari

Per approfondire, vedi la voce Sistema di equazioni lineari.

Vogliamo trovare un algoritmo efficiente per risolvere un sistema lineare di n equazioni in n incognite (anche 100, 1000...). Dobbiamo cioè valutare, tra tutti gli algoritmi risolutivi disponibili, quello che impiega meno tempo e consuma meno spazio degli altri. L'Algebra ci offre due importanti metodi risolutivi di enorme interesse ai fini dello studio della complessità degli algoritmi.

NOTA

negli esempi si tiene conto che il sistema sia univocamente determinato. In sede di approfondimento è possibile conoscere quali sono le condizioni affinché gli algoritmi che stiamo per esporre sono applicabili

Per approfondire, vedi la voce Regola di Cramer.

La Regola di Cramer permette la risoluzione di un sistema lineare nel modo più semplice grazie ad una singola definizione:

$x_i = { \det(A_i) \over \det(A)}$

dove A_i è la matrice formata sostituendo la iesima colonna di A con il vettore delle incognite. Il determinante della matrice può essere calcolato a priori, dunque serve solo il calcolo di n + 1 determinanti per risolvere il sistema. Il determinante è solitamente definito tramite lo sviluppo di Laplace, che fornisce direttamente un algoritmo ricorsivo:

$\det(A_k) = \sum_{i = 1}^n(-1)^{i+k} a_{i,k} \det(A_{i,k})$

dove a_i,k è l'elemento di coordinate i,k e A_i,k è il minore ottenuto sopprimendo la i-esima riga e la k-esima colonna. La complessità di questo algoritmo per il calcolo del determinante è O(n!), perché per ogni determinante di ordine m si devono calcolare m determinanti di ordine m − 1.

Vengono perciò utilizzati altri algoritmi con complessità migliore. (Incidentalmente, tali algoritmi sono anche alla base di metodi più efficienti per il calcolo del determinante). Uno di questi è il metodo di eliminazione di Gauss, basato su due importanti principi.

Il primo è che due sistemi lineari

$\operatorname A \operatorname x = \operatorname b$ e $\operatorname U \operatorname x = \operatorname c$

sono uguali se $\operatorname U$ si ottiene sostituendo le righe e le colonne di $\operatorname A$ con loro combinazioni lineari e gli elementi di $\operatorname c$ sono combinazioni lineari degli elementi di $\operatorname b$ in base ai coefficienti di $\operatorname U$.

Il secondo è che per risolvere un sistema triangolare (dove cioè la matrice dei coefficienti gode della proprietà di triangolarità) è sufficiente utilizzare l'algoritmo di sostituzione in avanti o all'indietro (la complessità computazionale è O(n)).

Si dimostra che per trasformare il sistema in triangolare occorre un algoritmo la cui complessità è O(n²). Applicando a questo sistema l'algoritmo di sostituzione diretta si trovano le soluzioni esatte del sistema, e si dimostra che la complessità totale dell'algoritmo di Gauss è O(n³).

Per quanto riguarda la complessità spaziale:

• l'algoritmo basato sulla regola di Cramer richiede soltanto una variabile aggiuntiva, dove memorizzare il determinante della matrice dei coefficienti, dunque la sua complessità è minima: O(n²) (n² per memorizzare la matrice dei coefficienti, 2n per memorizzare il vettore dei termini noti e le soluzioni, più uno spazio anch'esso pari ad n per il calcolo dei determinanti)
• l'algoritmo di Gauss non richiede altro spazio oltre a quello necessario per memorizzare la matrice dei coefficienti e il vettore dei termini noti. Al termine dell'algoritmo il vettore dei termini noti conterrà la soluzione. Pertanto la sua complessità spaziale è anch'essa minima: O(n²)

Strutture dati

Per approfondire, vedi la voce Struttura dati.

La maggior parte degli algoritmi coinvolge metodi sofisticati per l'organizzazione dei dati utilizzati nelle elaborazioni. Gli oggetti creati con questi metodi vengono chiamati strutture dati. Algoritmi semplici possono richiedere strutture dati complesse e viceversa.

Inoltre molte tipologie di algoritmi sono nate per la gestione di strutture dati complesse e per agevolarne la gestione.

Esempi di strutture dati sono gli Array, le liste, le code, le pile, gli alberi e i grafi.

Modelli formali

Rappresentazione grafica dell'algoritmo Quicksort

Per approfondire, vedi la voce Teoria della calcolabilità.

La definizione di algoritmo riportata sopra è, evidentemente, piuttosto informale. Allo scopo di trattare il concetto di algoritmo con strumenti matematici, era necessario darne una definizione più rigorosa. Questo obiettivo è stato realizzato inventando una serie di modelli matematici di algoritmo. Uno dei più celebri è la macchina di Turing. Essa rappresenta una sorta di computer ideale corredato di un programma da eseguire. Rispetto a un computer ideale, la macchina di Turing ha un funzionamento più semplice, con il vantaggio però che il suo funzionamento è facilmente descrivibile in termini matematici, facendo uso di concetti come insieme, relazione e funzione. Inoltre, è stato dimostrato che la macchina di Turing è tanto potente quanto la macchina di von Neumann, che è il modello sottostante a tutti i computer reali. In altre parole, se un certo problema può essere risolto da un computer (opportunamente programmato), esso può certamente essere risolto anche da una macchina di Turing.

Dopo la macchina di Turing, proposta da Alan Turing nel 1936, altri matematici hanno elaborato rappresentazioni formali del concetto di algoritmo, fra i quali ricordiamo, per esempio, il lambda calcolo. Dopo alcuni anni, emerse che tutti questi modelli erano equivalenti. I problemi che una macchina di Turing poteva risolvere erano gli stessi che poteva risolvere una macchina di von Neumann e anche gli stessi che poteva risolvere una funzione costruita col lambda calcolo. Da questi risultati, tra l'altro, scaturì la tesi di Church-Turing, che afferma che qualsiasi algoritmo è modellabile con una macchina di Turing. In altri termini, questa tesi sostiene che è sostanzialmente impossibile cercare di immaginare un modello di algoritmo più potente e anche, come corollario, che nessuna macchina potrà mai risolvere problemi che una macchina di Turing non possa risolvere in linea di principio. Ovviamente, non si tratta di un teorema, in quanto la tesi stabilisce l'eguaglianza di due concetti (algoritmo e macchina di Turing) di cui solo il secondo ha una definizione formale. La tesi è ancora oggi generalmente condivisa, sebbene nuove ricerche nel settore dell'ipercomputazione sembrino volte a metterla in discussione.

Catalogazione degli algoritmi

Gli algoritmi vengono raggruppati e catalogati a seconda della loro funzione o delle tecniche utilizzate per realizzarli, tuttavia una catalogazione rigorosa e completa è ormai diventata impossibile

In informatica è possibile catalogare gli algoritmi in:

• Algoritmi di ordinamento
• Algoritmi di ricerca
  • Ricerca sequenziale
    • Ricerca sequenziale con sentinella
  • Ricerca binaria
• Genetici evolutivi
• Swarm Intelligence
• Ricorsivi
• Algoritmo combinatorio
• Codice automodificante
• Conversione e codifica
  • UUencode/UUdecode
  • Mime
• Algoritmi di compressione
  • Senza perdita di informazioni:
    • Run-length encoding
      • PackBits
      • PCX
    • Codifica a riduzione locale di Entropia
      • Codifica di Huffman
      • Codifica aritmetica
    • Codifica a dizionario
      • DEFLATE
      • LZ77 e LZ78
      • Lempel-Ziv-Welch (ZIP)
      • LZMA
    • Trasformata di Burrows-Wheeler
    • PPM
  • Con perdita di informazione
    • Trasformata discreta del coseno (DCT)
      • MPEG (Primo metodo di compressione ad alta diffusione basato su DCT e Delta)
      • JPEG (Compressione d'immagini basato su quantizzazione, DCT e Huffman)
    • Compressione frattale
      • Trasformazione frattale
    • Wavelet
      • MP3 (compressione audio basata su compressione simil-wavelet e DCT)
      • JPEG2000 (compressione d'immagini che usa wavelet, Huffman e quantizzazione)

Molte categorie di algoritmi sono strettamente legate all'organizzazione dei dati in memoria (strutture dati).

Altri algoritmi

• Algoritmi quantistici, che implementati su di un computer quantistico darebbero prestazioni superiori ai classici
• Algoritmo apriori
• Algoritmo di Berger
• Algoritmo di Sturm

Bibliografia

• Robert Sedgewick, Algoritmi in C++, Addison-Wesley, ISBN 88-7192-153-4
• (EN) Robert Sedgewick, Philippe Flajolet (1996): An Introduction to the Analysis of Algorithms, Addison-Wesley, ISBN 0-201-40009-X
• Alessandra D'Alessio, Lezioni di Calcolo Numerico e Matlab, Liguori Editore, ISBN 88-207-3459-1
• Fabrizio Luccio, La struttura degli Algoritmi, Boringhieri, ISBN 88-339-5265-7
• Thomas H. Cormen, Charles E. Leiserson, Ronald Rivest, Introduzione agli algoritmi

Voci correlate

• Algoritmo quantistico
• Diagramma a blocchi
• Informatica
• Problema della connettività

Altri progetti

• Commons

• Wikimedia Commons contiene file multimediali sugli algoritmi

Collegamenti esterni

• Dizionario Informatico Francobollo di Al Khwarizmi.
• (ES) Mis algoritmos Procedure di base in parecchi linguaggi di programmazione.
• (EN) Dizionario degli algoritmi e delle strutture dati

Portale Informatica

Portale Matematica