Prodotto di Cauchy

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In analisi matematica, il prodotto di Cauchy (o secondo Cauchy) di due successioni di termine generale a_n e b_n è la successione avente come termine generale[1].

c_n := \sum_{k=0}^n a_k b_{n-k}.

Questa operazione è una convoluzione delle due successioni; equivale al prodotto di (a_n)_{n \in \N} e (b_n)_{n \in \N} considerati come elementi dell'anello sul gruppo dei numeri naturali R[\N].

Il nome è stato attributo in onore del suo inventore Augustin Louis Cauchy.

Serie[modifica | modifica sorgente]

Un'importante applicazione di questa definizione si ha nel contesto delle serie: date due serie

\sum_{n=0}^{+\infty} a_n,\qquad \sum_{n=0}^{+\infty} b_n,

a termini reali o complessi, il loro prodotto di Cauchy è la serie

\sum_{n=0}^{+\infty} c_n,\qquad\ \textrm{con}\quad c_n=\sum_{k=0}^n a_k b_{n-k}.

Se entrambe le serie convergono, e almeno una è assolutamente convergente, allora la serie prodotto converge al prodotto delle somme delle due serie di partenza[2], ossia

\sum_{n = 0}^{+\infty}{c_n} = \sum_{n = 0}^{+\infty}{a_n}\cdot\sum_{n = 0}^{+\infty}{b_n}

Se inoltre entrambe le serie convergono assolutamente, allora converge assolutamente anche la serie prodotto[1].

Osservazione[modifica | modifica sorgente]

Il prodotto di due serie convergenti, ma non assolutamente convergenti, può non essere convergente. Ad esempio, il prodotto della serie convergente

\sum_{n = 0}^{+\infty}{\frac{(-1)^n}{\sqrt{n+1}}}

con sé stessa risulta divergente, in quanto il termine generale del prodotto di Cauchy è

\frac{1}{\sqrt{k+1}}\frac{1}{\sqrt{n+1-k}} \ge \frac{1}{n+1},

che è la serie armonica.

Sommatorie[modifica | modifica sorgente]

Se il prodotto avviene tra due sommatorie che non si estendono fino all'infinito, ma fino a n, a termini reali o complessi, il loro prodotto di Cauchy è la sommatoria definita come

\sum_{k=0}^n a_k \cdot \sum_{k=0}^n b_k=\sum_{k=0}^{2n} \sum_{i=0}^k a_ib_{k-i} - \sum_{k=0}^{n-1} ( a_k \sum_{i=n+1}^{2n-k}b_i +b_k \sum_{i=n+1}^{2n-k} a_i)

a patto che a_k e b_k sono definiti per k compreso tra 0 e 2n.

Nel caso di  n \to +\infty, si ritrova il prodotto di Cauchy per le serie.

Note[modifica | modifica sorgente]

  1. ^ a b Soardi, op. cit., pag. 140.
  2. ^ Soardi, op. cit., pag. 142.

Bibliografia[modifica | modifica sorgente]

  • P. M. Soardi, Analisi Matematica (nuova edizione), Novara, Città Studi Edizioni, 2010, p. 113, ISBN 978-88-251-7359-8.

Voci correlate[modifica | modifica sorgente]

Collegamenti esterni[modifica | modifica sorgente]

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