Trasformazione adiabatica

In termodinamica una trasformazione adiabatica è una trasformazione termodinamica nel corso della quale un sistema fisico non scambia calore con l'ambiente esterno. Il termine deriva dal greco ἀ- ("alfa privativo"), διὰ- ("attraverso"), e βαῖνειν ("passare") e significa quindi "che non permette di passare attraverso".

Trasformazione adiabatica reversibile di un gas ideale

Nel caso di una trasformazione adiabatica di un gas ideale $\delta Q = 0 \,$, e si ha dal primo principio della termodinamica:

$\delta Q = dU + \delta W = n \, c_v \, dT + p \, dV = 0 \,\!$

In cui $Q \,\!$ e $W \,\!$ indicano il calore e il lavoro scambiati dal sistema, $U \,\!$ è l'energia interna, $c_v \,\!$ il calore specifico a volume costante, $n \,\!$ il numero di moli di gas, $p \,\!$ la pressione, $V \,\!$ il volume, e $T \,\!$ la temperatura.

Utilizzando l'equazione di stato dei gas ideali

$p = \frac{n R T}{V} \,\!$

si ottiene

$c_v \frac{dT}{T} = -R \frac{dV}{V} \,\!$

ed integrando

$c_v \ln T + R \ln V = \mathrm{costante} \ \,\!$

ricaviamo le cosiddette equazioni di Poisson dell'adiabatica reversibile

$\left\{\begin{matrix} TV^{\gamma - 1} &=& \mathrm{costante} \\ \\ pV^{\gamma} &=& \mathrm{costante} \\ \\ Tp^{\frac{1 - \gamma}{\gamma}} &=& \mathrm{costante} \end{matrix}\right.$

dove $\gamma = \frac{c_p}{c_v} \,\!$, e $c_p = c_v + R \,\!$.

Le ultime due equazioni sono state ricavate dalla prima (che è in termini di temperatura e volume) sfruttando l'equazione di stato dei gas perfetti.

Dunque considerando il lavoro dell'adiabatica tra due stati a $T_1\ \,\!$ e $T_2\ \,\!$ e usando le equazioni di Poisson per l'adiabatica reversibile:

$W_{adiab} = - \Delta U = n c_v (T_1 - T_2) = \frac{1}{\gamma - 1} (p_1 V_1 - p_2 V_2) = \frac{nRT_1}{\gamma - 1} \left[ 1- \left(\frac{p_1}{p_2} \right)^{\frac{1- \gamma}{\gamma}}\right]$

Considerando una trasformazione adiabatica reversibile con una variazione di volume da V₁ a V₂ il lavoro infinitesimo è dato da

dW = pdV

quindi il lavoro complessivo diventa

$W = \int_{V_{1}}^{V_{2}} p dV$

Se vogliamo calcolare l'entropia nel sistema:

$\Delta S = S_2 - S_1 = \int_{1}^{2} \frac{\delta Q}{T} \,\!$,

nel caso di una trasformazione adiabatica di un gas ideale si ottiene:

$\Delta S_{adiab} = 0 \,\!$

come è ovvio essendo $\delta Q = 0 \,\!$.

L'indice adiabatico

Con la notazione $\gamma \,\!$ molti autori italiani ed anglosassoni denotano il rapporto fra i calori specifici a pressione e volume costante. Ciò genera confusione perché con la stessa lettera è indicato l'esponente caratteristico della politropica.

Talora, tale esponente è indicato con $n \,\!$, come una normale potenza, mentre l'indice adiabatico è indicato con la lettera $k \,\!$. Da notare come altri autori, sempre nell'ambito della trasformazione adiabatica, utilizzino la notazione $c\ \,\!$ per indicare l'esponente adiabatico. Vale $c = \frac {c_v}{R} \,\!$ e come facilmente verificabile si ha la relazione:

$\gamma - 1 = \frac {1}{c}\ \,\!$

Relazioni in un gas ideale

Dalle definizioni di energia interna molare $U \,\!$ e di entalpia molare $H \,\!$, risulta che:

$U = c_v \, T\ \,\!$

$H = c_p \, T\ \,\!$

Perciò, possiamo riscrivere l'indice politropico come:

$\gamma = \frac{H}{U} \,\!$

E dare una formula "inversa" per il calcolo dei calori specifici a partire dall'indice adiabatico:

$c_p = \frac{\gamma \, R}{\gamma - 1} \qquad \mbox{e} \qquad c_v = \frac{R}{\gamma - 1} \,\!$

Meccanica quantistica

In meccanica quantistica, una trasformazione adiabatica implica una variazione infinitamente lenta dell'hamiltoniano di un sistema. I processi adiabatici sono un'importante idealizzazione che permette di semplificare alcune trattazioni dal punto di vista dell'effetto perturbativo.

È importante non dimenticare che in questo ambito il concetto non è legato allo scambio di calore, ma è invece più simile a quello termodinamico di trasformazione quasistatica.

Voci correlate

• Sistema adiabatico
• Trasformazione ciclica
• Trasformazione isobara
• Trasformazione isocora
• Trasformazione isoterma
• Trasformazione isoentropica
• Trasformazione quasistatica

Portale Chimica

Portale Termodinamica