Propagazione degli errori

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In statistica, la propagazione degli errori descrive la relazione tra l'errore associato ad una variabile casuale e l'errore associato ad una funzione di tale variabile. In genere, le variabili misurate in un esperimento hanno incertezze, dovute per esempio alla precisione degli strumenti, che si progagano sui risultati.

A una variabile x viene spesso associato un errore Δx (detto errore assoluto) che esprime il grado di incertezza nella conoscenza del valore di x ; si può scrivere che la variabile ha valore pari a x ± Δx, ovvero compreso nell'intervallo [x−Δx, x+Δx]. Si chiama errore relativo il rapporto Δx/x, solitamente espresso in percentuali. In molti casi si assume che la differenza tra il valore misurato e quello reale sia distribuita normalmente (la deviazione standard della distribuzione è l'errore della misura). Nel seguito si danno alcune formule per casi particolari.

[modifica] Esempi

Funzione	Incertezza
$X = A \pm B \,$	$Δ X = Δ A + Δ B$	$\sigma_X^2= \sigma_A^2 + \sigma_B^2 \,$ se non sono indipendenti: $\sigma_X^2= \sigma_A^2 + \sigma_B^2+2\cdot cov(A,B)$ dove $c o v (A, B)$ è la Covarianza.
$X = cA \,$	$\Delta X = c \cdot \Delta A$	$\sigma_X = c \cdot \sigma_A \,$
$X = A \cdot B \,$	$\frac{\Delta X}{X} = \frac{\Delta A}{A} + \frac{\Delta B}{B} + \frac{\Delta A\cdot \Delta B}{A\cdot B}$ $\frac{\Delta X}{X} = \frac{\Delta A}{A} + \frac{\Delta B}{B}$	$\left( \frac{\sigma_X}{X} \right)^2 = \left( \frac{\sigma_A}{A} \right)^2 + \left( \frac{\sigma_B}{B} \right)^2 + \left ( \frac{\sigma_A\cdot \sigma_B}{A\cdot B} \right )^2 \,$ se non sono indipendenti: $\sigma_X^2 = B^2\sigma_A^2 + A^2\sigma_B^2 + 2A\cdot B\cdot E_{1 1} + 2A\cdot E_{1 2} + 2B\cdot E_{2 1} + E_{2 2} - E_{1 1}^2$ dove $E_{ij}=E((\Delta A)^i\cdot (\Delta B)^j)$ e $Δ A = a - A$
$X = A\cdot B\cdot C \,$	$\frac{\Delta X}{X}=\frac{\Delta A}{A}+\frac{\Delta B}{B}+\frac{\Delta C}{C}+\frac{\Delta A\cdot\Delta B}{A\cdot B}+\frac{\Delta A\cdot\Delta C}{A\cdot C}+\frac{\Delta B\cdot\Delta C}{B\cdot C}+\frac{\Delta A\cdot\Delta B\cdot\Delta C}{A\cdot B\cdot C}$	$\left (\frac{\sigma_X}{X}\right )^2=\left (\frac{\sigma_A}{A}\right )^2+\left (\frac{\sigma_B}{B}\right )^2+\left (\frac{\sigma_C}{C}\right )^2+\left (\frac{\sigma_A\cdot\sigma_B}{A\cdot B}\right )^2+\left (\frac{\sigma_A\cdot\sigma_C}{A\cdot C}\right )^2+\left (\frac{\sigma_B\cdot\sigma_C}{B\cdot C}\right )^2+\left (\frac{\sigma_A\cdot\sigma_B\cdot\sigma_C}{A\cdot B\cdot C}\right )^2$
$X = A^i\cdot B^j$	$\frac{\Delta X}{X}=\|i\|\frac{\Delta A}{A}+\|j\|\frac{\Delta B}{B}$	$\left (\frac{\sigma_X}{X}\right )^2 = \left (i\frac{\sigma_A}{A}\right )^2+\left (j\frac{\sigma_B}{B}\right )^2$
$X = \ln (A) \,$	$\Delta X=\frac{\Delta A}{A}$	$\sigma_X = \frac{\sigma_A}{A}$
$X = e^A \,$	$\Delta X=e^A\cdot \Delta A$	$\frac{\sigma_X}{X} = \sigma_A \,$

[modifica] Formula generale

Sia $f (x 1, x 2,..., x n)$ una funzione dipendente da $n$ variabili del tipo $x 1, x 2,..., x n$ ; l'incertezza di ciascuna variabile è data da $Δ x j$ :

$x_j \pm \Delta x_j\, .$

Se le variabili non sono correlate, si può calcolare l'errore Δf di f partendo dalle incertezze delle singole variabili:

$\Delta f = \Delta f \left(x_1, x_2, ..., x_n, \Delta x_1, \Delta x_2, ..., \Delta x_n \right) = \left( \sum_{i=1}^n \left(\frac{\partial f}{\partial x_i}\Delta x_i \right)^2 \right)^{1/2} \, ,$

dove $\frac{\partial f}{\partial x_j}$ è la derivata parziale di $f$ per la $j$ -esima variabile.

Se le variabili sono invece correlate, si inserisce la covarianza tra coppie di variabili C_i,k := cov(x_i,x_k) come una doppia somma tra ogni coppia (i,k):

$\Delta f = \left( \sum_{i=1}^n \sum_{k=1}^n \left(\frac{\partial f}{\partial x_i}\frac{\partial f}{\partial x_k}C_{i,k} \right) \right)^{1/2}\, .$

Dopo aver calcolato $Δ f$ , si può quindi affermare che il valore della funzione con la sua incertezza è pari a:

$f \pm \Delta f \, .$

Non è certo un risultato sorprendente: le incertezze sulle x influiscono sulla variabile y a seconda di come le variabili siano tra loro correlate. Sviluppando mediante un polinomio di Taylor la funzione f(x) fino al primo ordine (nell'ipotesi che tutti i termini di ordine superiore al primo siano trascurabili), le derivate del primo ordine descrivono bene^{[senza fonte]} l'andamento stesso della funzione.

[modifica] Applicazioni

[modifica] Calcolo degli estremi

Una prima semplice applicazione consiste nell'inserire nei calcoli gli estremi dell'intervallo dell'errore; se la misura vale:

x ± Δx

allora il « valore reale » è compreso nell'intervallo [x-Δx;x+Δx].

Si calcola quindi:

y₁ = ƒ(x-Δx)

y₂ = ƒ(x+Δx)

e, secondo l'ordine di y₁ e y₂, si considera [y₁;y₂] o [y₂;y₁] come l'intervallo dell'errore.

Questo metodo può essere utilizzato solo se la funzione è monotòna nell'intervallo [x-Δx;x+Δx].

[modifica] Calcolo della derivata

Un metodo semplice utilizzato spesso nella Fisica prevede l'utilizzo del polinomio di Taylor arrestato al primo ordine, ovvero la sostituzione della funzione ƒ con la sua retta tangente per stimare l'errore. Si ha:

ƒ(x) = ƒ(a) + ƒ '(a)·(x-a) + o(x)

dove o(x) è una funzione tendente a zero. Se si sostituisce x con a + Δa, si ottiene:

ƒ(a + Δa) = ƒ(a) + ƒ '(a)·Δa + o(a + Δa)

Si può dunque ricavare che:

Δy ≈ ƒ '(a) · Δa

[modifica] Calcolo dei differenziali

Si può utilizzare la legge dei gas perfetti come esempio:

$P \times V=n \times R \times T$

dove

P : è la pressione del gas;
V : è il volume occupato dal gas;
n : è il numero di moli del gas;
R : è la costante dei gas perfetti, pari a 8,314 J·K^-1·mol^-1;
T : è la temperatura assoluta del gas, in kelvin.

La pressione in funzione di n, R, T e V si esprime come:

$P =\frac{n \times R \times T}{V}$

e scrivendo i rispettivi differenziali si ha:

$dP =\frac{n \times R}{V} dT + \frac{n \times T}{V} dR + \frac{ R \times T}{V}dn - \frac{n \times R \times T}{V^2}dV$

Se si sostituiscono i vari dx con i rispettivi errori, si ottiene:

$\delta P =\frac{n \times R}{V}\delta T + \frac{n \times T}{V}\delta R +\frac{ R \times T}{V}\delta n + \frac{n \times R \times T}{V^2}\delta V$

che fornisce l'errore assoluto del valore di P conoscendo gli errori di T, R, n e V.

Altri esempi in questo senso sono:

il calcolo dell'area di un rettangolo:

S = L l

e

S + d S = (L + d L)(l + d l) = L l + L d l + l d L + d l d L

si può scrivere come:

d S = ((L + d L)(l + d l) - L l) = L d l + l d L + d L d l

approssimabile in:

d S = L d l + l d L

il calcolo di un volume V = x · y · z:

V (x + d x, y + d y, z + d z) = (x + d x)(y + d y)(z + d z) = x y z + d x y z + x d y z + x y d z + x d y d z + y d x d z + z d x d y + d x d y d z

diventa:

d V = y z d x + z x d y + x y d z + d x d y d z

approssimabile in

d V = y z d x + z x d y + x y d z

notando che:

$dV = yz dx +zx dy + xy dz = \frac{\partial (xyz) }{\partial x}dx+\frac{\partial (xyz) }{\partial y}dy+\frac{\partial (xyz) }{\partial z}dz$

dove: $\frac{\partial (xyz) }{\partial x}= yz ; \frac{\partial (xyz) }{\partial y}=xz ; \frac{\partial (xyz) }{\partial z}=xy$

in generale il calcolo della variazione di una funzione ƒ(x,y,z).

$d f(x,y,z) = \frac{\partial f(x,y,z) }{\partial x}dx+\frac{\partial f(x,y,z) }{\partial y}dy+\frac{\partial f(x,y,z)}{\partial z}dz$

[modifica] Calcolo della funzione tangente inversa

Si può calcolare la propagazione dell'errore per la funzione tangente inversa come esempio dell'uso delle derivate parziali. Si definisce quindi la funzione:

f (θ) = arctanθ

,

mentre $σ θ$ è l'incertezza assoluta della misura di $θ$ .

La derivata parziale di $f (θ)$ rispetto a $θ$ è:

$\frac{\partial f}{\partial \theta} = \frac{1}{1+\theta^2}$ .

Quindi, la propagazione dell'errore $σ f$ è pari a:

$\sigma_{f} = \frac{\sigma_{\theta}}{1+\theta^2}$ ,

[modifica] Calcolo della resistenza elettrica

Un' applicazione pratica si ritrova nella misurazione della corrente elettrica I e del voltaggio V di un resistore con l' obbiettivo di determinare la resistenza elettrica R utilizzando la legge di Ohm:

$R = V / I .$

Esprimendo le quantità misurate con le rispettive incertezze (I±ΔI e V±ΔV), l'incertezza ΔR del risultato è pari a:

$\Delta R = \left( \left(\frac{\Delta V}{I}\right)^2+\left(\frac{V}{I^2}\Delta I\right)^2\right)^{1/2} = R\sqrt{\left(\frac{\Delta V}{V}\right)^2+\left(\frac{\Delta I}{I}\right)^2}.$

Quindi, in questo semplice caso, l'errore relativo ΔR/R è pari alla radice quadrata della somma dei quadrati degli errori relativi delle due quantità misurate.

[modifica] Voci correlate

Propagazione degli errori

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Indice

[modifica] Esempi

[modifica] Formula generale

[modifica] Applicazioni

[modifica] Calcolo degli estremi

[modifica] Calcolo della derivata

[modifica] Calcolo dei differenziali

[modifica] Calcolo della funzione tangente inversa

[modifica] Calcolo della resistenza elettrica

[modifica] Voci correlate

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