Legge della varianza totale

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La legge della varianza totale è un teorema della teoria della probabilità, che afferma che se x e y sono variabili casuali definite sul medesimo spazio di probabilità, e la varianza di x è finita, allora:

\ \sigma^2(x)=\mathbb E[\sigma^2(x|y)]+\sigma^2(\mathbb E[x|y])

dove \mathbb E[x|y] è il valore atteso condizionato di x, e \sigma^2(x|y) la varianza condizionata, ovvero:

\ \sigma^2(x|y)=\mathbb E[(x-\mathbb E[x|y])^2|y]

Dal punto di vista della statistica più che della teoria della probabilità, il primo termine è detto componente non spiegata della varianza totale, e il secondo è la componente spiegata; tale suggestiva terminologia si ricollega all'analisi del modello lineare, e in particolare al coefficiente di determinazione, o R².

Dimostrazione[modifica | modifica wikitesto]

La legge della varianza totale può essere immediatamente dimostrata sfruttando la legge delle aspettative iterate, come segue.

\ \sigma^2(x)=\mathbb E[x^{2}]-(\mathbb E[x])^{2}=
\ = \mathbb E[\mathbb E[x^{2}|y]]-(\mathbb E[E[x|y]])^{2}=
\ = \mathbb E[\sigma^2(x|y)] + \mathbb E[(\mathbb E[x|y])^{2}] - (\mathbb E[E[x|y]])^{2} =
\ = \mathbb E[\sigma^2(x|y)] + \sigma^2(E[x|y])

Relazione con il modello lineare[modifica | modifica wikitesto]

La legge della varianza totale presenta un'importante relazione con il modello di regressione lineare. Nel caso univariato, il modello lineare può essere enunciato come:

\ \mathbb E[x|y] = \alpha + \beta y

Si ha in tal caso che il rapporto di covarianza:

\ \beta = \frac{\sigma(y,x)}{\sigma^2(y)}

Ma allora, la componente spiegata della varianza totale altro non è che:

\ \sigma^2(\mathbb E[x|y])=\beta^{2}\sigma^2(y)=\frac{\sigma^{2}(y,x)}{\sigma^2(y)}

così che il rapporto tra l'espressione sopra e \ \sigma^2(x) è il quadrato del coefficiente di correlazione tra \ x e \ y:

\rho^2(y,x)= \frac{\sigma^2(\mathbb E[x|y])}{\sigma^2(x)}=\frac{\sigma^{2}(y,x)}{\sigma^2(y)\sigma^2(x)}

Tale grandezza corrisponde in effetti al coefficiente di determinazione R². È possibile ottenere un'analoga relazione nel caso multivariato.

Estensioni ai momenti di ordine superiore[modifica | modifica wikitesto]

Esistono relazioni analoghe alla legge della varianza totale e alla legge delle aspettative iterate per i momenti centrali di ordine superiore. Ad esempio, con riferimento al momento centrale di ordine 3, si ha:

\ \mu_{3}(x)= \mathbb E[\mu_{3}(x|y)]+\mu_{3}(\mathbb E[x|y])+3\sigma(\mathbb E[x|y],\sigma^2(x|y))

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

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