Teorema della probabilità totale

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Il teorema della probabilità totale consente di calcolare la probabilità che si verifichi almeno uno di due o più eventi, ovvero la probabilità dell'unione di essi. Il teorema ha due diverse formulazioni, secondo che si considerino solo eventi a due a due incompatibili o eventi qualsiasi.

Eventi incompatibili[modifica | modifica sorgente]

Dato un insieme A_i finito o numerabile di eventi a due a due incompatibili, la probabilità dell'unione di tutti gli eventi è uguale alla somma delle probabilità degli eventi.

Questa è una prima formulazione del teorema, che si dimostra come segue.

Nel caso di due eventi A e B incompatibili, se cioè AB = ∅, si applica il quarto assioma della probabilità:

A\cap B=\varnothing \Rightarrow P(A\cup B)=P(A)+P(B)

Si dimostra per induzione che ciò vale anche per un insieme finito di eventi An a due a due incompatibili, ovvero che:

A_i\cap A_j=\varnothing, i\neq j \Rightarrow P\left(\bigcup_{i=1}^n A_i\right)=\sum_{i=1}^nP(A_i)

Essendo la probabilità una funzione di insieme continua, essendo quindi:

P\left(\lim_{n\rightarrow\infty}A_n\right)=\lim_{n\rightarrow\infty}P(A_n)

il risultato può essere esteso ad unioni numerabili di eventi:

A_i\cap A_j=\varnothing, i\neq j \Rightarrow P\left(\bigcup_{i=1}^\infty A_i\right)=\sum_{i=1}^\infty P(A_i)

Infatti:

\bigcup_{i=1}^\infty A_i=\lim_{n\rightarrow\infty}\bigcup_{i=1}^nA_i;
  • dalla continuità delle funzione di probabilità segue:
P\left(\bigcup_{i=1}^\infty A_i\right)=P\left(\lim_{n\rightarrow\infty}\bigcup_{i=1}^nA_i\right)=
\lim_{n\rightarrow\infty} P\left(\bigcup_{i=1}^nA_i\right)=\lim_{n\rightarrow\infty}\sum_{i=1}^n P(A_i)=\sum_{i=1}^\infty P(A_i)

Esempio[modifica | modifica sorgente]

Se si lancia un dado, e si indicano con A1...A6 gli eventi "ottengo 1", ..., "ottengo 6", gli eventi sono a due a due incompatibili ed hanno ciascuno probabilità pari a 1/6. La probabilità dell'evento "ottengo un numero maggiore di 4" è:

P(A_5\cup A_6)=\frac{1}{6}+\frac{1}{6}=\frac{1}{3}

Eventi qualsiasi[modifica | modifica sorgente]

Dato un insieme finito A_i di eventi, la probabilità dell'unione di tutti gli eventi è uguale a:

\begin{align}P(A_1\cup A_2\cup\cdots\cup A_n)=&\sum_{i=1}^n P(A_i)-\sum_{i_1<i_2}P(A_{i_1}\cap A_{i_2})+\cdots\\&+(-1)^{r+1}\sum_{i_1<i_2<\cdots<i_r}P(A_{i_1}\cap A_{i_2}\cap\cdots\cap A{i_r})+\cdots\\&+(-1)^{n+1}P(A_1\cap A_2\cap\cdots\cap A_n)\end{align}

dove ciascuna somma \ \sum_{i_1<i_2<\cdots<i_r} è calcolata per tutti gli {n \choose r} possibili sottoinsiemi di r elementi dell'insieme \{1,2,\dots,n\}.

È questa la formulazione più generale del teorema, che vale anche per eventi non incompatibili e si dimostra come segue.

Se gli eventi considerati non sono a due a due incompatibili, si deve tenere conto delle loro intersezioni. In particolare, la probabilità di due eventi A e B, in generale, è pari alla somma delle singole probabilità P(A) e P(B) diminuita della probabilità della loro intersezione:

P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)

Infatti, scomponendo sia AB che B in unioni di insiemi disgiunti ed applicando ad esse il quarto assioma, si ha:

\begin{align}&A\cup B=A\cup(\overline{A}\cap B), &P(A\cup B)=P(A)+P(\overline{A}\cap B)\\
&B = (A\cap B)\cup(\overline{A}\cap B), &P(B)=P(A\cap B)+P(\overline{A}\cap B)\end{align}

Sottraendo membro a membro le due equazioni si ha:

\ P(A\cup B) - P(B)= P(A)-P(A\cap B)

da cui segue la formula data sopra.

Con più di due eventi, alla somma delle probabilità di ciascuno si deve sottrarre la somma delle loro intersezioni due a due, poi aggiungere la somma delle loro intersezioni tre a tre e così via. Nel caso di tre eventi A, B e C, si ha:

\ P(A\cup B\cup C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(A\cap B)-P(A\cap C) - P(B\cap C) + P(A\cap B\cap C)
Prob totale.png

La formula per il caso di n eventi si dimostra per induzione (v. anche il principio di inclusione-esclusione).

Il teorema nella sua forma generale non può essere esteso a unioni numerabili di eventi. In tali casi risulta applicabile solo la disuguaglianza di Boole.

Esempi[modifica | modifica sorgente]

Se si lanciano due dadi e si indicano con A1 l'evento "il primo dado dà 6", con A2 l'evento "il secondo dado dà 6", l'evento "almeno un dado dà 6" è unione di due eventi non incompatibili, in quanto può verificarsi anche la loro intersezione ("entrambi i dadi danno 6"). La probabilità di ottenere un 6 (ma non più di uno) è quindi:

P(A_1\cup A_2)=P(A_1)+P(A_2)-P(A_1\cap A_2)=\frac{1}{6}+\frac{1}{6}-\frac{1}{36}=\frac{11}{36}

In un ristorante vi sono 3 sale ed entrano 10 persone, ciascuna delle quali sceglie a caso una sala. Qual è la probabilità che almeno una delle sale resti vuota? Le persone possono scegliere le sale in 310 modi diversi (numero delle disposizioni con ripetizione di 3 elementi di classe 10); vi sono 210 modi di lasciar vuota una sala (le 10 persone si dispongono solo in due sale). Indicando con Ai l'evento "rimane vuota la i-esima sala", le probabilità sono:

P(A_1)=P(A_2)=\frac{2^{10}}{3^{10}}

La probabilità dell'evento "rimane vuota una sala" è:

P(A_1\cup A_2)=P(A_1)+P(A_2)-P(A_1\cap A_2)=\frac{2^{10}+2^{10}-1}{3^{10}}

in quanto potrebbero restarne vuote due (un solo caso possibile: tutti nell'altra).

Voci correlate[modifica | modifica sorgente]

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