Analisi della varianza

Da Wikipedia, l'enciclopedia libera.

L'analisi della varianza (ANOVA) è un insieme di tecniche statistiche facenti parte della statistica inferenziale che permettono di confrontare due o più gruppi di dati confrontando la variabilità interna a questi gruppi con la variabilità tra i gruppi.

L'ipotesi nulla solitamente prevede che i dati di tutti i gruppi abbiano la stessa origine, ovvero la stessa distribuzione stocastica, e che le differenze osservate tra i gruppi siano dovute solo al caso.

Si usano queste tecniche quando le variabili esplicative sono di tipo nominale. Nulla impedisce di usare queste tecniche anche in presenza di variabili esplicative di tipo ordinale o continuo, ma in tal caso sono meno efficienti delle tecniche alternative (p.es.: regressione lineare).

Indice

1 Ipotesi di base
2 Discussione analitica
3 Esempio di Analisi della varianza semplice
4 Voci correlate
5 Bibliografia

[modifica] Ipotesi di base

L'ipotesi alla base dell'analisi della varianza è che dati n gruppi, sia possibile scomporre la varianza in due componenti: Varianza interna ai gruppi (anche detta Within) e Varianza tra i gruppi (Between). La ragione che spinge a compiere tale distinzione è la convinzione, da parte del ricercatore, che determinati fenomeni trovino spiegazione in caratteristiche proprie del gruppo di appartenenza. Un esempio tipico, ripreso dalle analisi sociologiche, si trova nello studio dei gruppi di tossicodipendenti. In questo caso l'analisi della varianza si usa per determinare se più gruppi possono essere in qualche modo significativamente diversi tra loro (la varianza between contribuisce significativamene alla varianza totale - il fenomeno è legato a caratteristiche proprie di ciascun gruppo come la zona di residenza)o, viceversa, risultano omogenei (la varianza within contribuisce significativamene alla varianza totale - il fenomeno è legato a caratteristiche proprie di tutti i gruppi). In altre parole, il confronto si basa sull'idea che se la variabilità interna ai gruppi è relativamente elevata rispetto alla variabilità tra i gruppi, allora probabilmente la differenza tra questi gruppi è soltanto il risultato della variabilità interna.

Il più noto insieme di tecniche si basa sul confronto della varianza e usa variabili di test distribuite come la variabile casuale F di Snedecor.

Le diverse tecniche vengono suddivise a seconda se il modello prevede

una sola causa: p.es.: il gradimento di un cibo dipende dal colore del medesimo
più di una causa: p.es.: il successo scolastico dipende sia dal genere (maschi, femmine) che dallo sport praticato (calcio, tennis, box,...)
interazione tra più cause: p.es.: la velocità di guarigione dipende da due farmaci, i quali però si annullano (o rinforzano) a vicenda

[modifica] Discussione analitica

La relazione tra varianza totale $σ 2$ riferita alle n unità e varianze calcolate sui singoli gruppi $\sigma^2_g$ (g=1,2,...,G) risulta essere $\sigma^2=\sum_{g=1}^G \sigma^2_g \cdot {n_g \over n} + \sum_{g=1}^G (M_g - M)^2 \cdot {n_g \over n}$ La prima sommatoria è la varianza Within mentre la seconda è la varianza between. Quindi, equivalentemente, si potrà scrivere: $\sigma^2 = \sigma^2_W + \sigma^2_B$ Dove M è la media totale delle n unità, uguale alle medie parziali di ciascun gruppo $M g$ con pesi uguali alle rispettive frequenze relative di gruppo ${n_g \over n}$ . A loro volta, le medie parziali $M g$ dei valori $x i (g)$ del g-esimo gruppo sono date da $M_g=\sum_{i=1}^{n_g}{x_i(g) \over n_g}$ . Inoltre si ha che: $\sigma^2_g={\sum_{i=1}^{n_g} [x_i(g)-M_g]^2 \over n_g}$

La varianza Within è uguale alla media ponderata delle varianze parziali, calcolate in ogni gruppo. I pesi sono uguali alle loro frequenze relative.

La varianza Between è uguale alla varianza ponderata delle medie parziali. I pesi sono uguali alle frequenze relative di gruppo.

[modifica] Esempio di Analisi della varianza semplice

Il modello prevede che

x i j = μ + α i + ε i j

L'ipotesi nulla prevede che

i valori osservati derivino da una distribuzione gaussiana
con stessa media $μ$ ; e stessa varianza $σ 2$ e che
$α i$ sia uguale per tutti i gruppi (e pertanto nullo).

I dati osservati nei quattro gruppi, che chiameremo A, B, C e D, di uguale numerosità (per semplificare l'esempio), sono:

j	A	B	C	D
1	0,72	0,75	0,68	0,78
2	0,69	0,85	0,70	0,86
3	0,71	0,82	0,67	0,87
4	0,70	0,80	0,65	0,84
5	0,68	0,88	0,70	0,85

Siano adesso

SSQ_a: la somma degli scarti quadratici delle medie dei singoli gruppi (m_i) dalla media generale m
SSQ_e: la somma degli scarti quadratici dei singoli valori x_ij rispetto alla media m_i del gruppo a cui appartengono
SSQ_tot: la somma degli scarti quadratici di tutti singoli valori rispetto alla media generale m

Ovvero:

m = 1/n Σ_iΣ_jx_ij

m_i = 1/n_i Σ_jx_ij

SSQ_a = Σ_in_i(m_i-m)²

SSQ_e = Σ_iΣ_j(x_ij-m_j)²

SSQ_tot = Σ_iΣ_i(x_ij-m)² = SSQ_e + SSQ_a

La variabile test diventa

    SSQ_a/(k-1)
T = ---------
    SSQ_e/k·(ni-1)

dove

k è il numero di gruppi (nel nostro esempio: k=4)

n_i la numerosità dei singoli gruppi (nel nostro caso n_i=5 per tutti)

n = Σ_in_i, ovvero il numero complessivo di casi osservati

Nel nostro esempio si ottiene che:

SSQ_tot =0,1176

SSQ_a = 0,1000

SSQ_e = 0,0176

e pertanto

     0,1000 / (4-1)    0,1000·16  
T = --------------- = --------- = 30,30
     0,0176 / 4·(5-1)   0,0176·3

tale valore viene confrontato con i valori dei una v.c. F di Snedecor con 3 e 16 gradi di libertà. Se si accetta una percentuale di falsi positivi del 5%=(100-95)% tale valore è

F( 0,95 ; 3 ; 16 ) = 3,24

pertanto, essendo 30,3 » 3,24 si rigetta l'ipotesi nulla che prevedeva l'assenza di effetti e si afferma che molto probabilmente almeno uno dei quattro gruppi è diverso dagli altri. Forse tutti i gruppi sono diversi uno dall'altro, forse solo uno di loro.

Un test (proposto per la prima volta da Ronald Fisher) permette di determinare la più piccola differenza significativa tra la media di due gruppi, confrontandoli uno ad uno.

Tale differenza è pari a

t( 0,05/2 ; n-k ) * √(SSQ_e(1/n_p+1/n_q))

[modifica] Voci correlate

Ronald Fisher, George W. Snedecor
regressione lineare, variabile di comodo
statistica, test di verifica d'ipotesi
Analisi della correlazione canonica, della quale l'analisi della varianza che può essere vista come un caso particolare

[modifica] Bibliografia

Zani S.; Analisi dei dati statistici, vol. I; 1994; Giuffrè editore; Milano
Gili A., Frosini B.V., Zanardi G. e Zenga M.; Variability and concentration, in: Italian contribution to the metodology of statistic; 1987; Cleup; Padova
Brasini S., Tassinari F., Tassinari G.; Marketing e pubblicità; 1993; Il Mulino; Bologna
Rao C.R.; Diversity: its measurement, decomposition, apportionment and analysis; 1982; Sankhya vol. 44 serie A pagg 1-12

Statistica