Distribuzione di Fisher-Snedecor

Distribuzione di Fisher-Snedecor

Funzione di densità di probabilità i parametri m ed n sono indicati come d1 e d2
Funzione di ripartizione i parametri m ed n sono indicati come d1 e d2
Parametri	$d_1,d_2\in\mathbb{N}\setminus\{0\}$ (gradi di libertà)
Supporto	$\mathbb{R}^+$
Funzione di densità	$\frac{1}{\Beta(\tfrac{d_1}{2},\tfrac{d_2}{2})}\frac{1}{x}\left(\frac{(d_1x)^{d_1}\ d_2^{d_2}}{(d_1x+d_2)^{d_1+d_2}}\right)^\frac{1}{2}$ con Β la funzione Beta)
Funzione di ripartizione	$I_{\tfrac{d_1x}{d_1x+d_2}}(\tfrac{d_1}{2},\tfrac{d_2}{2})$ (con I la funzione Beta incompleta regolarizzata)
Valore atteso	$\frac{d_2}{d_2-2}\!$ se n > 2 infinita altrimenti
Mediana
Moda	$0\$ se $m\leqslant 2$ $\frac{m-2}{m}\frac{n}{n+2}$ se $m\geqslant2$
Varianza	$\frac{2n^2(m+n-2)}{m(n-2)^2(n-4)}$ per n > 4 non definita altrimenti
Skewness
Curtosi
Entropia
Funz. Gen. dei Momenti
Funz. Caratteristica

In teoria delle probabilità la distribuzione di Fisher-Snedecor, o F di Snedecor, è una distribuzione di probabilità continua che regola il rapporto "riscalato" tra due variabili aleatorie che seguono due distribuzioni χ².

Viene impiegata nell'analisi della varianza e in generale per l'omonimo test F.

Prende il nome dai matematici George W. Snedecor (statunitense) e Ronald Fisher (britannico).

Definizione

La distribuzione di Fisher-Snedecor con parametri i numeri naturali (m,n) governa la variabile aleatoria

$F=\frac{X/m}{Y/n} \,\!$,

dove X e Y sono variabili aleatorie con rispettive distribuzioni chi quadrato con m ed n gradi di libertà, χ²(m) e χ²(n).

Caratteristiche

La distribuzione di Fisher-Snedecor di parametri (m,n) ha funzione di densità di probabilità

$f(x)=\frac{1}{\Beta(\tfrac{m}{2},\tfrac{n}{2})}\frac{1}{x}\left(\frac{m^mn^nx^m}{(mx+n)^{m+n}}\right)^\frac{1}{2} \,\!$,

dove Β(α,β) è la funzione Beta.

La sua funzione di ripartizione è data dalla funzione Beta incompleta regolarizzata,

$F(x)=I_{\tfrac{mx}{mx+n}}(\tfrac{m}{2},\tfrac{n}{2}) \,\!$.

La distribuzione ha momenti semplici di ordine k infiniti per k > n / 2, altrimenti pari a

$\mu_k=\frac{n^k}{m^k}\cdot\frac{m(m+2)(m+4)\cdots(m+2k-2)}{(n-2)(n-4)(n-6)\cdots(n-2k)} \,\!$.

In particolare ha

• speranza matematica pari a

  $E[F]=\frac{n}{n-2} \mbox{ per } n>2; \,\!$

• varianza pari a

  $\text{Var}(X)=\frac{2n^2(m+n-2)}{m(n-2)^2(n-4)} \mbox{ per } n>4; \,\!$

• indice di asimmetria pari a

  $\gamma_1=2\sqrt{\tfrac{2(n-4)}{m(m+n-2)}}\tfrac{2m+n-2}{n-6} \mbox{ per } n>6; \,\!$

• indice di curtosi pari a

  $\gamma_2=12\cdot\frac{n^3+5mn^2+5m^2n-8n^2-32mn+22m^2+20n+44m-16}{m(m+n-2)(n-6)(n-8)} \mbox{ per } n>8. \,\!$

La sua moda è 0 se $m\leqslant2$ e

$\frac{m-2}{m}\frac{n}{n+2}$ se $m\geqslant2 \,\!$.

Altre distribuzioni

Per definizione, se una variabile aleatoria $F=\tfrac{X/m}{Y/n}$ segue la distribuzione di Fisher-Sneecor di parametri (m,n), allora la sua inversa $F^{-1}=\tfrac{Y/n}{X/m}$ segue la distribuzione di Fisher-Snedecor di parametri (n,m). Questa relazione permette di esprimere i quantili di una distribuzione in termini dei quantili dell'altra:

$P(F^{-1}\leqslant q)=P(F\geqslant q^{-1})=1-P(F\leqslant q^{-1}) \,\!$.

Una generalizzazione di questa distribuzione è la distribuzione di Fisher-Snedecor non centrale, per la quale la variabile aleatoria X nella definizione di $F=\tfrac{X/m}{Y/n}$ può seguire una distribuzione chi quadrato non centrale.

Se T è una variabile aleatoria con distribuzione t di Student di parametro ν, allora F = T² segue la distribuzione di Fisher-Snedecor di parametri (1,ν).

Se T² è una variabile aleatoria con distribuzione di Hotelling di parametri (p,m), allora $F=\tfrac{m-p+1}{mp}T^2$ segue la distribuzione di Fisher-Snedecor di parametri (p,m − p + 1).

Se la variabile aleatoria F segue la distribuzione di Fisher-Snedecor di parametri (m,n), allora $B=\frac{mX}{mX+n}$ segue la distribuzione Beta $\Beta(\tfrac{m}{2},\tfrac{n}{2})$.

Voci correlate

• Analisi della varianza
• Distribuzione chi quadrato
• Funzione Beta di Eulero

Collegamenti esterni

(EN) Eric W. Weisstein, Distribuzione di Fisher-Snedecor su MathWorld.

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