Frequenza cumulata

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In statistica, in particolare in statistica descrittiva, la frequenza cumulata (assoluta), associata ad una modalità o a una classe di modalità, è pari alla somma della sua frequenza assoluta e di quelle delle modalità che la precedono. Naturalmente, affinché il calcolo della frequenza cumulata abbia un senso, è necessario che all'interno della distribuzione sia possibile definire qualche tipo di ordinamento. Dato un carattere di cui si siano osservate M modalità, l'espressione matematica della frequenza cumulata (assoluta) della k-esima modalità, supponendo le modalità disposte in ordine crescente, è

N_k=\sum_{i=1}^k n_i

dove n_i è la frequenza assoluta della i-esima modalità e N=\sum_{i=1}^{M} n_i è il numero totale di unità statistiche. Si osservi che nella sommatorie l'indice varia sull'insieme delle modalità e non delle unità statistiche.

Si definisce inoltre la frequenza cumulata relativa associata ad una modalità o a una classe di modalità, come il rapporto tra la sua frequenza cumulata (assoluta) e la somma di tutte le frequenze assolute presenti nel campione. O equivalentemente la frequenza cumulata relativa si può definire come la somma della sua frequenza relativa e di quelle delle modalità che la precedono. In formule

F_k=\frac{N_k}{N}=\sum_{i=1}^k f_i

dove f_i è la frequenza relativa della i-esima modalità.

Si definisce inoltre la frequenza cumulata percentuale (a volte indicata con frequenza relativa %) associata ad una modalità o a una classe di modalità, come la sua frequenza cumulata relativa moltiplicata per 100. O equivalentemente la frequenza cumulata percentuale si può definire come la somma della sua frequenza percentuali e di quelle delle modalità che la precedono. In formule

P_k=100\frac{N_i}{N}=100\cdot F_k=\sum_{i=1}^k p_i

dove p_i è la frequenza percentuale della i-esima modalità.


Il computo delle frequenze cumulate è utile nel calcolo della mediana. Un sinonimo (forse più utilizzato) di frequenza cumulata relativa è il cosiddetto quantile.

In probabilità la frequenza cumulata (relativa) di una variabile aleatoria è detta funzione di ripartizione.

Concetto inverso, rispetto a quello di frequenza cumulata, è quello di frequenza retrocumulata ove il processo di sommatoria ha inizio con la modalità più alta. Anche la frequenza retrocumulata può essere assoluta, relativa o precentuale.

Esempio[modifica | modifica wikitesto]

In un sondaggio fatto all'interno di una facoltà composta da 250 studenti (la popolazione statistica), si intende rilevare il carattere "Gradimento dei professori", secondo le cinque modalità "molto deluso", "insoddisfatto", "parzialmente soddisfatto", "soddisfatto", "entusiasta". Risulta che 10 studenti si dicono entusiasti dell'operato dei professori, 51 si dicono soddisfatti, 63 mediamente soddisfatti, 90 insoddisfatti, 36 molto delusi.

La distribuzione di frequenza viene rappresentata con una tabella come la seguente:

Gradimento dei professori Frequenze assolute Frequenze relative Frequenze percentuali Frequenze cumulate assolute Frequenze cumulate relative Frequenze cumulate percentuali
molto deluso 36 36/250 = 0,144 14,4 36 0,144 14,4
insoddisfatto 90 90/250 = 0,360 36 36+90=126 0,144+0,360 = 0,504 14,4+36= 50,4
parzialmente soddisfatto 63 63/250 = 0,252 25,2 126+63=189 0,504+0,252 = 0,756 50,4+25,2=75,6
soddisfatto 51 51/250 = 0,204 20,4 189+51=240 0,756+0,204 = 0,960 75,6+20,4=96
entusiasta 10 10/250 = 0,040 4 240+10=250 0,960+0,040 = 1,000 96+4=100
Totali 250 250/250 = 1,000 100      

Nel caso ipotizzato, la colonna delle frequenze relative mostra che è molto deluso il 14,4% degli studenti e che la percentuale degli studenti non pienamente soddisfatti (modalità da "molto deluso" a "parzialmente soddisfatto") arriva al 75,6%.

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]