Funzione càdlàg

Le funzioni di ripartizione sono un esempio di funzioni càdlàg

In matematica, una funzione càdlàg (acronimo dal francese continue à droite, limitée à gauche, che significa continua a destra, limitata a sinistra) o più semplicemente (ma erroneamente) cadlag è una funzione di variabile reale che sia in ogni punto continua da destra e possegga limite sinistro finito.

Le funzioni càdlàg sono importanti nello studio dei processi stocastici che ammettono traiettorie con discontinuità di prima specie.

Esempi

• Tutte le funzioni continue sono naturalmente càdlàg.
• Tutte le funzioni di ripartizione sono càdlàg.

Spazio di Skorokhod

Lo spazio di tutte le funzioni càdlàg su un certo dominio $E$ a valori nello spazio metrico $M$ viene detto spazio di Skorokhod. Esso si denota con $D(E;M)$. Tale spazio può essere munito di una topologia. Per semplicità, consideriamo come dominio l'intervallo $[0,T]$ con $T$ finito e come codominio lo spazio euclideo reale.

Dobbiamo prima definire un analogo del modulo di continuità. Per ogni $F \subseteq E$, sia

$w_{f} (F) := \sup_{s, t \in F} | f(s) - f(t) |$

l'oscillazione di $f$ su $F$; per $\delta > 0$, definiamo allora il modulo càdlàg come

$\varpi'_{f} (\delta) := \inf_{\Pi} \max_{1 \leq i \leq k} w_{f} ([t_{i - 1}, t_{i})),$

dove l'estremo inferiore è fatto su tutte le partizioni $\Pi$ dell'intervallo $E$ con mesh minore di $\delta$. Si può provare che $f$ è càdlàg se e solo se $\varpi'_{f} (\delta) \to 0$ quando $\delta \to 0$.

Definiamo dunque la distanza di Skorokhod come

$\sigma (f, g) := \inf_\lambda \max \{ \| \lambda - id_E \|_\infty, \| f - g \circ \lambda \|_\infty \}$,

dove $id_E$ è l'identità di $E$, $\|\cdot\|_\infty$ è la norma uniforme e $\lambda$ varia sull'insieme di tutte le biiezioni continue strettamente monotone su $E$. Si dimostra che effettivamente $\sigma$ è una metrica. La topologia indotta è detta topologia di Skorokhod.

Intuitivamente, il termine $\|\lambda-id_E\|_\infty$ misura la "distorsione nel tempo" e il termine $\|f-g\circ\lambda\|_\infty$ la "distorsione nello spazio".

Proprietà

Lo spazio $D(E;M)$ contiene lo spazio $C(E;M)$ delle funzioni continue. Su tale sottospazio la topologia di Skorokhod e la topologia uniforme coincidono.

La metrica $\sigma$ non rende lo spazio di Skorokhod completo; tuttavia esiste una metrica equivalente a $\sigma$ per cui ciò è vero. Tale metrica (e dunque anche $\sigma$) rende inoltre $D(E;M)$ uno spazio separabile e quindi uno spazio polacco.

Come applicazione del teorema di Ascoli, si può mostrare che una successione di misure di probabilità su $D$ è tight se solo se sono verificate le seguenti due condizioni:

• $\lim_{a \to \infty} \limsup_{n \to \infty} \mu_{n} \{ f \in D | \| f \| \geq a \} = 0,$
• $\lim_{\delta \to 0} \limsup_{n \to \infty} \mu_{n} \{ f \in D | \varpi'_{f} (\delta) \geq \varepsilon \} = 0$

con la seconda valida per ogni $\varepsilon > 0$.

Bibliografia

• Billingsley, Patrick (1995). Probability and Measure. New York, NY: John Wiley & Sons, Inc.. ISBN 0-471-00710-2.

Voci correlate

• Funzione di ripartizione
• Funzione semicontinua
• Processo stocastico
• Anatoliy Skorokhod

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