Funzione di Dirichlet

La funzione di Dirichlet è una funzione di variabile reale, che assume due soli valori, diversi a seconda che la variabile indipendente sia razionale o irrazionale. Questa funzione fu introdotta da Peter Dirichlet come esempio di funzione molto lontana dalle tradizionali funzioni note fino ad allora nell'analisi matematica.

Definizione

La funzione di Dirichlet è definita nel modo seguente:

$\chi(x)= \begin{cases} 1 & x \in \mathbb{Q} \\ 0 & x \in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q} \end{cases}$

È la funzione indicatrice dell'insieme dei razionali $\mathbb{Q}$. Viene talora chiamata funzione di Dirichlet la funzione definita a valori invertiti:

$\chi(x)= \begin{cases} 0 & x \in \mathbb{Q} \\ 1 & x \in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q} \end{cases}$

Nel seguito quest'ultima funzione sarà indicata come 1 − χ.

Continuità e integrabilità

La funzione di Dirichlet è un esempio di funzione che non è continua in nessun punto del dominio, infatti ogni intorno di qualsiasi punto contiene sempre almeno un numero razionale e un numero irrazionale (in effetti infiniti punti per entrambe le categorie) e quindi due punti in cui la funzione assume valore 0 e 1.

La funzione è non integrabile secondo Riemann ma integrabile secondo Lebesgue. Poiché la funzione assume quasi ovunque valore 0 (essendo l'insieme dei numeri razionali un insieme di misura nulla) il risultato dell'operazione di integrazione su qualunque intervallo [a,b] è 0. Per analoghe ragioni, l'integrale della funzione 1 − χ sull'intervallo [a,b] vale b − a.

Altre proprietà

Il grafico della funzione apparirebbe come due rette orizzontali, di ordinata 0 e 1, "sbiadite", ovvero fatte di tanti punti infinitamente vicini e "buchi" puntiformi infinitamente vicini.

La funzione di Dirichlet è approssimabile mediante funzioni continue secondo la formula seguente:

$\chi(x) = \lim_{n \rightarrow \infty} \lim_{m \rightarrow \infty} \left[ \cos \left( 2 \pi n! x \right) \right]^m$.

La funzione 1 − χ presenta inoltre un minimo relativo e assoluto improprio per ogni x razionale, ed un massimo relativo e assoluto improprio per ogni x irrazionale.

Funzione di Dirichlet modificata

Nel 1854 Bernhard Riemann descrisse una variante (detta anche funzione di Thomae) della funzione di Dirichlet, che pur essendo discontinua su ogni intervallo della retta reale, è integrabile secondo Riemann. Una possibile definizione di questa funzione è:

$\Chi(x)= \begin{cases} \frac{1}{q} & x = \frac{p}{q}, \mbox{con } \frac{p}{q} \mbox{ ridotta ai minimi termini} \\ 0 & x \in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}. \end{cases}$

Questa funzione è integrabile secondo Riemann perché dato un qualunque valore positivo $\epsilon$, la funzione supera $\epsilon$ solamente in un numero finito di punti; le somme integrali che approssimano il valore dell'integrale tendono quindi a zero. Inoltre, la funzione è anche continua in ogni valore irrazionale di x: preso infatti un numero irrazionale x₀ e fissato un valore positivo $\epsilon$, esiste sempre un intorno di x₀ in cui $\Chi(x_0) < \epsilon$; segue quindi che: $\lim_{x \rightarrow x_0}\Chi(x) = 0$.

Bibliografia

• John Stillwell, Il teorema fondamentale del calcolo in Claudio Bartocci e Piergiorgio Odifreddi (a cura di), La Matematica II - Problemi e teoremi, Torino, Einaudi, 2008. ISBN 978-88-06-16425-6

Voci correlate

• Misura di Lebesgue

Collegamenti esterni

• Una discussione sull'integrabilità della funzione di Dirichlet

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