Funzione localmente integrabile

Da Wikipedia, l'enciclopedia libera.

In matematica, una funzione localmente integrabile è una funzione che è integrabile su ogni sottoinsieme compatto del dominio.

Detto U un insieme aperto nello spazio euclideo \R^n e f\colon U\to\mathbb{C} una funzione misurabile rispetto alla sigma-algebra di Lebesgue, se l'integrale di Lebesgue:

 \int_K | f|\, d\mu

esiste finito per ogni sottoinsieme compatto K in U, allora f è detta localmente integrabile.

Le funzioni localmente integrabili giocano un ruolo importante nella teoria delle distribuzioni, e compaiono nel teorema di Radon-Nikodym.

Definizione alternativa[modifica | modifica wikitesto]

Sia \Omega un insieme aperto di \R^n e C_c^\infty (\Omega) l'insieme delle funzioni infinitamente differenziabili f : \Omega \to \R a supporto compatto definite su \Omega. Una funzione f : \Omega \to \C tale che:

 \int_\Omega | f \varphi|\, \mathrm{d}x <+\infty \qquad \forall \varphi \in C_c^\infty (\Omega)

è detta localmente integrabile. L'insieme di tutte queste funzioni è denotato con L_{1,\mathrm{loc}}(U).

Questa definizione trova le sue radici nell'approccio alla teoreia della misura e dell'integrazione basato sul concetto di operatore lineare continuo in uno spazio vettoriale topologico, sviluppato dal gruppo Nicolas Bourbaki e altri, ed utilizzato spesso nell'ambito dell'analisi funzionale. In particolare la definizione di funzionali lineari tramite integrali di nucleo f è una pratica utilizzata nella teoria delle distribuzioni, dove in tal caso le funzioni \varphi sono dette funzioni di test.

Si tratta di una definizione equivalente a quella standard, data in apertura, ovvero:

 \int_K | f |\, \mathrm{d}x <+\infty \quad \forall\, K \subset \Omega,\, K \text{ compatto}

se e solo se:

\int_\Omega | f \varphi|\, \mathrm{d}x <+\infty \quad \forall\, \varphi \in C^\infty_{\mathrm{c}}(\Omega)

Dimostrazione[modifica | modifica wikitesto]

Infatti, sia  \varphi \in C_c^\infty (\Omega). Essendo una funzione misurabile limitata dalla sua norma uniforme \| \varphi \| ed avendo un supporto K compatto per la definizione standard, si ha:

\int_\Omega | f \varphi|\, \mathrm{d}x = \int_K |f|\,|\varphi|\, \mathrm{d}x \le\|\varphi\|_\infty\int_K | f |\, \mathrm{d}x<\infty

Per mostrare l'implicazione inversa, sia K un sottoinsieme compatto di \Omega. Si vuole innanzitutto costruire una funzione di test  \varphi_K \in C_c^\infty (\Omega) che maggiora la funzione indicatrice \chi_K di K. La distanza (insiemistica) tra K e la sua frontiera \partial K è strettamente maggiore di zero, ovvero:

\Delta:=d(K,\partial\Omega)>0

ed è quindi possibile scegliere un numero reale \delta tale per cui \Delta > 2\delta > 0 (se \partial K è vuoto si prende \Delta=\infty). Siano ora K_\delta e K_{2\delta} gli intorni chiusi di K aventi rispettivamente raggio \delta e 2 \delta. Essi sono compatti e soddisfano:

K\subset K_\delta\subset K_{2\delta}\subset\Omega \qquad d(K_\delta,\partial\Omega)=\Delta-\delta>\delta>0

Grazie alla convoluzione * si definisce la funzione  \varphi_K \in C_c^\infty (\Omega) come:

\varphi_K(x)={\chi_{K_\delta}\ast\varphi_\delta(x)}=\int_{\mathbb{R}^n}\chi_{K_\delta}(y)\,\varphi_\delta(x-y)\,\mathrm{d}y

dove  \varphi_\delta è un mollificatore. Dal momento che \varphi_K(x)=1 per tutti gli x \in K si ha che \chi_K \le \varphi_K.

Se f è una funzione localmente integrabile rispetto alla seconda definizione si ha:

\int_K|f|\,\mathrm{d}x=\int_\Omega|f|\chi_K\,\mathrm{d}x
\le\int_\Omega|f|\varphi_K\,\mathrm{d}x<\infty

e poiché questo vale per ogni sottoinsieme compatto K di \Omega, f è localmente integrabile anche rispetto alla prima definizione.

Generalizzazione[modifica | modifica wikitesto]

Sia \Omega un aperto di \R^n e f : \Omega \to \C una funzione misurabile rispetto alla sigma-algebra di Lebesgue. Se per un dato p tale che 1 \le p \le \infty la funzione f soddisfa:

 \int_K | f|^p \,\mathrm{d}x <+\infty

ovvero appartiene allo spazio spazio Lp L^p(K) per tutti i sottoinsiemi compatti di \Omega, allora f è localmente p-integrabile. L'insieme di tutte le funzioni di questo tipo si indica con L_{p,\mathrm{loc}}(K).

Proprietà[modifica | modifica wikitesto]

Completezza dello spazio metrico Lp,loc[modifica | modifica wikitesto]

Lo spazio L_{p,\mathrm{loc}} è uno spazio metrico completo per p \ge 1. La sua topologia può essere generata dalla famiglia di metriche:

d(u,v)=\sum_{k\geq 1}\frac{1}{2^k}\frac{\Vert u - v\Vert_{p,\omega_k}}{1+\Vert u - v\Vert_{p,\omega_k}}\qquad u, v\in L_{p,\mathrm{loc}}(\Omega)

dove \{\omega_k\}_{k \ge 1} è una famiglia di insiemi non vuoti tale che:

  • w_k \subset \subset \omega_{k + 1}, ovvero \omega_k è strettamente incluso in \omega_{k + 1}.
  • \cup_k \omega_k = \Omega.
  • Le funzioni \Vert\cdot\Vert_{p,\omega_k}\to\mathbb{R}^+, con k \in \N, sono una famiglia indicizzata di seminorme definita come:
 {\Vert u \Vert_{p,\omega_k}} = \int_{\omega_k} | u|^p \,\mathrm{d}x\qquad\forall\, u\in L_{p,\mathrm{loc}}(\Omega)

Lp come sottospazio di L1,loc per p ≥ 1[modifica | modifica wikitesto]

Ogni funzione f \in L_{p,\mathrm{loc}}, dove 1 \le p \le \infty e \Omega è un aperto di \R^n, è localmente integrabile.

Per mostrare questo fatto, data la semplicità del caso p=1 si assume nel seguito 1 < p \le \infty. Considerando la funzione indicatrice \chi_k del sottoinsieme compatto K \subset \Omega, si ha:

\left|{\int_\Omega|\chi_K|^q\,\mathrm{d}x}\right|^{1/q}=\left|{\int_K \mathrm{d}x}\right|^{1/q}=|\mu(K)|^{1/q}<+\infty

dove q è un numero positivo tale che 1/p + 1/q = 1 per un dato 1 \le p \le \infty, e \mu(K) è la misura di Lebesgue di K. Allora, per la disuguaglianza di Hölder il prodotto f \chi_K è una funzione integrabile, ovvero appartiene a L^1 (\Omega) e:

{\int_K|f|\,\mathrm{d}x}={\int_\Omega|f\chi_K|\,\mathrm{d}x}\leq\left|{\int_\Omega|f|^p\,\mathrm{d}x}\right|^{1/p}\left|{\int_K \mathrm{d}x}\right|^{1/q}=\|f\|_p|\mu(K)|^{1/q}<+\infty

Quindi f\in L_{1,\mathrm{loc}}(\Omega). Si nota che dal momento che vale:

{\int_K|f|\,\mathrm{d}x}={\int_\Omega|f\chi_K|\,\mathrm{d}x}\leq\left|{\int_K|f|^p \,\mathrm{d}x}\right|^{1/p}\left|{\int_K \mathrm{d}x}\right|^{1/q}=\|f\|_p|\mu(K)|^{1/q}<+\infty

il teorema si applica anche quando f appartiene solo allo spazio delle funzioni localmente p-integrabili, e pertanto si ha come corollario che ogni funzione f \in L_{p,\mathrm{loc}}, dove 1 < p \le \infty, è localmente integrabile, ovvero appartiene a f \in L_{1,\mathrm{loc}}.

Esempi[modifica | modifica wikitesto]

  • Ogni funzione integrabile (globalmente) in U è localmente integrabile, cioè:
L^1(U)\subset L^1_{loc}(U)
  • Più generalmente, ogni funzione in {\rm L}^p(U), con 1 \le p \le \infty è localmente integrabile:
L^p(U)\subset L^1_{loc}(U)
  • La funzione costante a 1 definita sulla retta reale è localmente integrabile, ma non globalmente. Più generalmente, le funzioni continue sono localmente integrabili.
  • La funzione f(x)=1/x per x\neq 0 e f(0)=0 non è localmente integrabile, perché la condizione cade negli intervalli contenenti l'origine.

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

  • (EN) S. Saks, Theory of the integral , Hafner (1952)
  • (EN) G.P. Tolstov, On the curvilinear and iterated integral Trudy Mat. Inst. Steklov. , 35 (1950) pp. 1–101

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

Collegamenti esterni[modifica | modifica wikitesto]

matematica Portale Matematica: accedi alle voci di Wikipedia che trattano di matematica