Integrale di Darboux

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Nell'analisi matematica, l'integrale di Darboux (o somma di Darboux) è una delle possibili definizioni di integrale di una funzione.

L'integrale di Darboux è equivalente a quello di Riemann, volendo con ciò dire che una funzione è Darboux-integrabile se e solo se è Riemann-integrabile, e i valori dei due integrali, se esistono, sono uguali tra loro. Gli integrali di Darboux hanno il vantaggio di essere più semplici da definire rispetto a quelli di Riemann.

Gli integrali di Darboux prendono nome dal loro scopritore, Gaston Darboux.

Approccio costruttivo[modifica | modifica wikitesto]

Somme di Darboux: inferiore (verde) e superiore (verde + giallo)

Si consideri una funzione f(x), definita su un intervallo chiuso I\subset\R,\,I = [a,b], che su tale intervallo risulti limitata. Si suddivida l'intervallo I tramite una partizione \mathcal{P} in n intervalli [x_{s-1},x_{s}], e per ogni sub-intervallo si definiscano le due quantità:

m_s := \inf_{x\in [x_{s-1},x_{s}]} f(x)\! \qquad M_s := \sup_{x\in [x_{s-1},x_{s}]} f(x)\!

Questi due valori sono l'estremo inferiore e l'estremo superiore delle ordinate dei punti del grafico della funzione f(x) limitatamente al sub-intervallo [x_{s-1},x_{s}]. Tali valori esistono certamente, proprio per il fatto che la funzione è limitata su tutto l'intervallo I. Tuttavia, non è detto che siano facilmente calcolabili.

Si definisce somma inferiore di Darboux, relativa alla partizione \mathcal{P}, il numero reale:

s(\mathcal{P}) := \sum_{s=1}^n m_s (x_s-x_{s-1})

Analogamente, si definisce somma superiore di Darboux, relativa alla partizione \mathcal{P}, il numero reale:

S(\mathcal{P}) := \sum_{s=1}^n M_s (x_s-x_{s-1})

Da notare che la funzione di cui abbiamo disegnato il grafico è stata scelta positiva solo per comodità. Esiste un lemma che afferma che, data:

m \leq f(x) \leq M \qquad \forall x \in [a,b]

allora per ogni coppia di partizioni \mathcal{P},\,\mathcal{Q} di [a,b] si ha:

m(b-a) \leq s(\mathcal{P}) \leq S(\mathcal{Q}) \leq M (b-a)

Siano:

\delta = \{s(\mathcal{P})\}_\mathcal{P} \qquad \forall \mathcal{P}

una partizione di [a,b] e:

\Delta = \{S(\mathcal{P})\}_\mathcal{P} \qquad \forall \mathcal{P}

una partizione di [a,b]. Dal lemma precedente possiamo dedurre che gli insiemi  \delta,\,\Delta sono separati, cioè:

s \leq S\qquad\forall s \in \delta,\,\forall S \in \Delta

L'assioma di Dedekind sulla completezza di \R afferma allora che esiste almeno un numero reale \xi \in \R tale che:

s \leq \xi \leq S\qquad\forall s \in \delta,\,\forall S \in \Delta

Se vi è un unico elemento di separazione \xi tra s,\,S allora si dice che f(x) è integrabile in [a,b] secondo Riemann e l'elemento \xi si indica con:

\int_{a}^{b} f(x)\,dx

e si chiama integrale definito di f in [a,b]. I numeri a,\,b sono detti estremi di integrazione ed f è detta funzione integranda. La variabile di integrazione, cioè la variabile della funzione integranda, è una variabile muta, cioè \int f(x)dx ha lo stesso significato \int f(t)dt, \int f(j)dj. La forma differenziale dx è il differenziale della variabile di integrazione.

Definizione[modifica | modifica wikitesto]

L'integrale di f nell'intervallo chiuso e limitato [a,b] è il limite per n che tende ad infinito della somma integrale:

\sigma_{n}={{b-a} \over {n}} \sum_{s=1}^{n} f(t_{s})

se tale limite esiste finito e non dipende dalla scelta dei punti \ t_s nel s-esimo sottointervallo di [a,b]:

\ \int^{b}_{a} f(x)\, dx= \lim_{n \to + \infty} \sigma_{n}= \lim_{n \to + \infty} {{b-a} \over {n}} \sum_{s=1}^{n} f(t_{s})

L'esistenza di un unico elemento separatore tra \delta e \Delta nella definizione precedente è equivalente a richiedere che:

s(f) = S(f)

in questo caso:

s(f) = S(f) = \int_{a}^{b}f(x)dx

Se la funzione integrabile f(x) è positiva allora l'integrale assume il significato di area della regione:

R = \{(x,y)\in\R^2,\,0 \leq y \leq f(x), x \in [a,b]\}.

Se la funzione f cambia segno su [a,b] allora l'integrale rappresenta una somma di aree con segno diverso.

Proprietà degli integrali[modifica | modifica wikitesto]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi Proprietà dell'integrale di Riemann.

Linearità[modifica | modifica wikitesto]

Siano f e g due funzioni continue definite in un intervallo [a, b] e siano \alpha, \beta \in \R. Allora:

\int_a^b [\alpha f(x) + \beta g(x)]\,dx = \alpha \int_a^b f(x)\,dx + \beta \int_a^b g(x)\, dx

Additività[modifica | modifica wikitesto]

Sia f continua e definita in un intervallo [a, b] e sia c \in [a, b]. Allora:

\int_a^b f(x)\,dx = \int_a^c f(x) dx + \int_c^b f(x)\,dx

Monotonia[modifica | modifica wikitesto]

Siano f e g due funzioni continue definite in un intervallo [a, b] e f(x) \geq g(x). Allora:

\int_a^b f(x)\,dx \geq \int_a^b g(x) dx

Teorema del confronto[modifica | modifica wikitesto]

Siano f e g due funzioni continue definite in un intervallo [a, b] e tali che f(x) \le g(x) in [a, b]. Allora:

\int_a^b f(x) dx \le \int_a^b g(x)\,dx

Valore assoluto[modifica | modifica wikitesto]

Sia f integrabile in un intervallo [a, b], allora si ha:

\left | \int_a^b f(x)\,dx \right | \leq \int_a^b \left | f(x) \right |\,dx

Teorema della media integrale[modifica | modifica wikitesto]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi Teorema della media integrale e Teorema della media pesata.

Se f:[a,b]\to \mathbb R è continua allora esiste c \in [a,b] tale che:

{{1} \over {b-a}} \int_{a}^{b} f(x)\,dx=f(c)

Limitandosi ad integrali su intervalli di \R, sia dato un intervallo [a,b], con a \leq b \in \R. Una partizione di [a,b] è un insieme finito P di punti tali che:

 a = x_0 \leq x_1  \leq \ldots \leq x_n-1 \leq x_n = b

Scrivendo \Delta x_i=x_1 - x_i-1, se f è una funzione reale limitata definita su [a,b] e P una partizione di [a,b] si pone:

M_i=\sup_{x_i-1 \leq x \leq x_i} f(x) \qquad m_i=\inf_{x_i-1 \leq x \leq x_i} f(x) \qquad U(P,f)=\sum_{i=1}^{n}M_i \Delta x_i \qquad   L(P,f)=\sum_{i=1}^{n}m_i \Delta x_i
\overline{\int_{a}^{b}}f dx = \inf U(P,f)\qquad\underline{\int_{a}^{b}}f dx=\sup L(P,f)

dove \inf, \sup sono calcolati al variare di tutte le partizioni di [a,b] , e i due integrali si dicono rispettivamente integrale di Riemann superiore e inferiore. Se i due integrali sono uguali, f si dice Riemann-integrabile (f \in \mathcal{R}([a,b])), e si definisce l'integrale di Riemann di f su [a,b] il valore comune dei due integrali:

\int_{a}^{b}fdx = \overline{\int_{a}^{b}} f, dx=\underline{\int_{a}^{b}}f dx

Dato che ogni funzione limitata esistono m,M \in \R tali che m \leq f(x) \leq M per ogni x \in [a,b] si ha:

 m(b-a) \leq L(P,f) \leq U(P,f) \leq M(b-a)

gli integrali di Riemann superiori ed inferiore sono definiti, anche se non è detto che abbiano lo stesso valore.

Si mostra che f \in \mathcal{R}([a,b]) se e solo se per ogni \varepsilon > 0 esiste una partizione P tale che  U(P,f)-L(P,f)<\varepsilon . Se tale condizione è verificata per la partizione:

P=\left\{ x_0,x_1,\ldots,x_n\right\} e t_i \in [x_{i-1},x_i]

allora:

\left|\sum_{i=1}^{n}f(t_i)\Delta x_i - \int_{a}^{b}f dx\right|<\varepsilon

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

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