Teorema della media integrale

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In matematica, il teorema della media integrale è un teorema che mette in relazione le nozioni di integrale e di funzione continua per le funzioni di una variabile reale. Una funzione continua definita su un intervallo ha come immagine ancora un intervallo: il teorema della media integrale stabilisce che la media integrale della funzione è un valore incluso nell'intervallo immagine.

Il teorema[modifica | modifica wikitesto]

Il concetto di media integrale è una generalizzazione dell'idea di media aritmetica. L'idea è quella di calcolare il valore medio assunto da una funzione f su un intervallo [a,b] calcolando la media aritmetica dei valori che la funzione assume su un insieme finito (molto grande) di punti distribuiti uniformemente nell'intervallo, cioè si suddivide l'intervallo in N sottointervalli [x_k,x_{k+1}] tutti di lunghezza (b-a) / N e si calcola la media:

\frac{f(x_0)+f(x_1)+ \dots +f(x_N)} N

che può essere scritta anche come:

\frac 1 {b-a}\sum_{i=0}^{N}\frac{b-a}N f(x_i)

Dalla definizione di integrale di Riemann segue che considerando quantità N sempre maggiori di punti questa espressione converge al valore:

{{1} \over {b-a}} \int_{a}^{b} f(x) \, dx

che viene chiamato media integrale di f.

Il teorema afferma che se f:[a,b]\to \mathbb R è continua (quindi integrabile) allora esiste c \in [a,b] tale che:

{{1} \over {b-a}} \int_{a}^{b} f(x)\,dx=f(c)

In modo equivalente:

\int_{a}^{b} f(x)dx = (b-a)f(c)

Dimostrazione[modifica | modifica wikitesto]

Essendo f continua in [a,b], per il teorema di Weierstrass essa è dotata di massimo M e di minimo m su [a,b], quindi si ha:

m \le f(x) \le M

Dalla proprietà di monotonia dell'integrale risulta:

\int_{a}^{b} m \, dx \le \int_{a}^{b} f(x) \, dx \le \int_{a}^{b} M\,dx

Nei membri a destra e a sinistra della disuguaglianza si sta integrando una funzione costante, quindi si ha:

\int_{a}^{b} m \, dx = m \int_{a}^{b}\, dx =m(b-a)

e analogamente:

\int_{a}^{b} M \, dx = M\int_{a}^{b}\, dx =M(b-a)

Si ottiene quindi:

m(b-a) \le \int_{a}^{b} f(x) \, dx \le M(b-a)

ovvero, se  b>a :

m \le {{1} \over {b-a}} \int_{a}^{b} f(x)\,dx\le M

Per il teorema dei valori intermedi f deve assumere in [a,b] tutti i valori compresi tra:

\sup_{[a,b]}f=M\mbox{ e }\inf_{[a,b]}f=m

quindi, in particolare, esiste un c\in [a,b] tale che:

f(c)={{1} \over {b-a}} \int_{a}^{b} f(x) dx

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

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