Teorema della media integrale

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Il teorema della media integrale è un teorema che mette in relazione le nozioni di integrale e di funzione continua per le funzioni di una variabile reale.

Il concetto di media integrale è una generalizzazione dell'idea di media aritmetica. L'idea è quella di calcolare il valore medio assunto da una funzione su un intervallo $[a,b]\!$ calcolando la media aritmetica dei valori che la funzione assume su un insieme finito (molto grande) di punti distribuiti uniformemente nell'intervallo, cioè si suddivide l'intervallo in $N\!$ intervallini $[x_k,x_{k+1}]\!$ tutti di lunghezza $\frac {(b-a)} N\!$ e si calcola la media:

$\frac{f(x_0)+f(x_1)+...+f(x_N)} N$ ,

questa può essere scritta anche come

$\frac 1 {b-a}\sum_{i=0}^{N}\frac{b-a}N f(x_i)\!$ ,

ora dalla definizione di integrale di Riemann segue che considerando quantità $N\!$ sempre maggiori di punti questa espressione convergerà al valore

${{1} \over {b-a}} \int_{a}^{b} f(x) \, dx\!$ ,

che viene chiamato media integrale di $f\!$ .

Sappiamo che una funzione continua $f\!$ definita su un intervallo ha come immagine ancora un intervallo, ed è ragionevole aspettarsi che la media integrale di $f\!$ sia un valore incluso nell'intervallo immagine. Questo è esattamente ciò che stabilisce il teorema della media integrale:

Teorema: Teorema della media integrale

Se $f:[a,b]\to \mathbb R\!$ è continua allora esiste $c \in [a,b]\!$ tale che ${{1} \over {b-a}} \int_{a}^{b} f(x)\,dx=f(c)\!$ o equivalentemente detto $\int_{a}^{b} f(x)dx = (b-a)f(c)$