Subdifferenziale

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Il subdifferenziale è un concetto matematico utilizzato nello studio delle funzioni convesse.

Una funzione convessa (in blu) e due rette di supporto (in rosso)

Sia f:RnR una funzione convessa non necessariamente differenziabile; si definisce il subdifferenziale di f in x0 come: \partial f(x_0) = \{g \in \mathbb{R}^n:\quad f(x) \geq f(x_0) + \langle g, x - x_0 \rangle \}

Si dice che g \in \partial f(x_0) è un subgradiente in x0.

Un subgradiente quindi individua un iperpiano di supporto al grafico della funzione, e viceversa. Ad esempio in R un subgradiente è il coefficiente angolare della tangente al grafico in x0 (o la derivata della funzione che la definisce), come mostrato in figura; analogamente in Rn un subgradiente è il gradiente di un iperpiano di supporto.

Il subdifferenziale così definito è una diretta generalizzazione del caso differenziabile, infatti se f è differenziabile il subdifferenziale contiene solo il gradiente della funzione. Inoltre in questo caso il membro destro della diseguaglianza che definisce un subgradiente è un'approssimazione di Taylor troncata al primo ordine. Tuttavia generalizzando si perdono alcune proprietà; il subdifferenziale infatti non è più un operatore differenziale ma un insieme.

Il subdifferenziale gode di alcune utili proprietà:

  • se la funzione è convessa (continua) allora in ogni punto esiste un subgradiente,
  • se 0 è un subgradiente di f in x allora x è un minimo globale di f,
  • se x è un minimo globale di f allora 0 è un subgradiente di f in x,
  • \partial f(x) è un insieme convesso.

I subgradienti, comunque, non sono generalmente unici. In particolare, quando la funzione non è differenziabile, posso esistere più iperpiani di supporto al grafico della funzione (come mostrato in figura). Pertanto anche un punto di minimo può avere un subgradiente non nullo.

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