Analisi non standard

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L'analisi non standard è una rifondazione dell'analisi matematica che recupera in buona parte l'impostazione originale di Leibniz e il concetto di infinitesimo. Fu introdotta nei primi anni '60 da Abraham Robinson, che, in seguito, pubblicò il fondamentale Non standard Analysis, del 1966.

Cenni storici[modifica | modifica sorgente]

Il calcolo infinitesimale creato da Leibniz nel XVII secolo si fondava in modo essenziale sul concetto di infinitesimo. Per Leibniz gli infinitesimi sono numeri minori in valore assoluto di ogni numero reale, eppure diversi da zero; un nuovo tipo di numeri per i quali Leibniz supponeva continuassero a valere le ordinarie regole dell'Algebra.

Grazie al concetto di infinitesimo diventa facile introdurre i concetti di derivata e di integrale e dedurre le regole di derivazione e di integrazione: nasce il calcolo infinitesimale.

Il concetto di infinitesimo nascondeva però una contraddizione logica che fu messa in luce da George Berkeley ed anche da Karl Marx nei suoi scritti matematici[1]: gli infinitesimi vengono a volte considerati diversi da zero, altre volte uguali a zero.

Per superare questo problema nel XIX secolo Augustin Cauchy e Karl Weierstrass rifondarono il calcolo infinitesimale abolendo gli infinitesimi e fondandosi invece sul concetto di limite; in questo modo le contraddizioni logiche insite nel concetto di infinitesimo furono superate, ma al prezzo di una notevole complicazione di definizioni e dimostrazioni. Aboliti gli infinitesimi, il calcolo infinitesimale si trasformava nella moderna analisi matematica.

Nel XX secolo Abraham Robinson, un logico matematico tedesco emigrato negli USA, nel corso dei suoi studi di logica scoprì che tutti gli insiemi numerici potevano essere estesi con numeri "non standard" che ne ereditavano le proprietà; per l'insieme dei numeri reali questi altro non erano che gli infinitesimi di Leibniz, definiti questa volta in modo assolutamente rigoroso; diventava così possibile fondare nuovamente l'Analisi sul concetto di infinitesimo, cosa che Robinson fece nel suo libro Non standard Analysis (1966). E 'Analisi non standard' è il nome dato a questa nuova formulazione dell'Analisi. Definizioni e dimostrazioni ritrovano la semplicità e la linearità che era del calcolo di Leibniz.

Nel 1973 Kurt Gödel, forse il più famoso matematico del XX secolo, disse: "ci sono buoni motivi per credere che l'Analisi non standard in una versione o in un'altra sarà l'Analisi del futuro", una previsione che è ancora lontana dall'essere realizzata. Dopo Robinson vi è stata comunque una fioritura di studi e di tentativi di riformulare l'Analisi sul concetto di infinitesimo, come nel caso della SIA - Smooth Infinitesimal Analysis.

Il metodo di Leibniz e le critiche del Berkeley[modifica | modifica sorgente]

Per Leibniz la derivata è, per definizione, il rapporto tra l'infinitesimo dy e l'infinitesimo dx; in simboli:

f'(x) = {dy \over dx} = {{f(x + dx) - f(x)} \over {dx}}

Un semplice esempio può ora chiarire la natura delle critiche del Berkeley; si consideri la funzione y = x^2. Applicando la definizione si ha:

{dy \over dx} = {{(x + dx)^2 - x^2} \over {dx}} = {{x^2 + 2xdx + dx^2 - x^2} \over dx} = {{2xdx + dx^2} \over dx}

raccogliendo ora a fattore dx nel numeratore si ottiene:

{{dy \over dx} = 2x + dx}

Ma dx è infinitesimo e quindi trascurabile rispetto al numero reale 2x, dunque la derivata vale:

{{dy \over dx} = 2x}

Su questa disinvolta eliminazione dell'infinitesimo dx si appuntarono le critiche del Berkeley: quando si divide per dx si presuppone che sia diverso da zero (consentendo quindi tale divisione), e quando si elimina il dx si presuppone che sia uguale a zero; gli infinitesimi sono dunque entità contraddittorie, conclude il Berkeley, che le definisce ironicamente ghosts of departed quantities (fantasmi di quantità defunte).

Inoltre in matematica esiste una proprietà detta proprietà di Archimede che deve valere per ogni numero reale. Questa proprietà dice che per ogni numero reale a, deve esistere un numero naturale n tale che a sia maggiore del reciproco di n:

{{1 \over n} <a }

con a numero reale e n numero naturale.

Questa proprietà non può valere per gli infinitesimi dato che Leibniz aveva definito gli infinitesimi come i più piccoli numeri immaginabili e quindi non potevano esistere numeri reali minori.

Per superare queste obiezioni c'erano due possibilità:

  1. abolire gli infinitesimi e rifondare il calcolo su nuove basi; è la strada scelta da Cauchy e Weierstrass;
  2. ridefinire in modo rigoroso i concetti di infinitesimo e di derivata; è la strada di Abraham Robinson.

La derivata secondo Robinson[modifica | modifica sorgente]

Robinson introduce gli infinitesimi come numeri dx tali che, per ogni n naturale > 0 è:

{ 0 < dx < {1 \over n}}

La somma di un numero reale x e di un numero infinitesimo dx è allora detta numero iperreale x + dx, un po' come la somma di un numero reale e di un numero immaginario costituisce un numero complesso.

Viene inoltre definita la nuova funzione st(x) parte standard che dato un numero iperreale restituisce la sua parte reale; p.es.

st(2 + 3dx) = 2

A questo punto la nuova definizione di derivata è semplicemente:

f'(x) = st\left({{f(x + dx) - f(x)} \over {dx}}\right)

Nell'esempio della funzione y = x^2 l'eliminazione finale dell'infinitesimo dx è ora pienamente giustificata.

{dy \over dx} = st(2x + dx)  = 2x

Per Robinson quindi gli infinitesimi sono definitivamente diversi da zero e la loro eliminazione è giustificata dall'uso della funzione st(_).

Anche la definizione di integrale e la dimostrazione del teorema fondamentale del calcolo integrale risultano molto semplificate usando questa impostazione.

Note[modifica | modifica sorgente]

  1. ^ I Manoscritti Matematici di Karl Marx, augustoponzio.com. [collegamento interrotto]

Bibliografia[modifica | modifica sorgente]

Collegamenti esterni[modifica | modifica sorgente]

  • Introduzione all'analisi non-standard e Un modello dei numeri iperreali di Riccardo Dossena, entrambi scaricabili da [1]


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