1-forma

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In algebra lineare, una 1-forma su uno spazio vettoriale è sinonimo di funzionale lineare su tale spazio. In tale contesto, la dicitura "1-forma" è solitamente utilizzata per distinguere i funzionali lineari da funzionali multilineari di grado maggiore (una forma multilineare di grado n è un'espressione polinomiale che è lineare rispetto a tutte le n variabili su cui è definita).

In geometria differenziale, una 1-forma differenziale su una varietà differenziabile è una sezione liscia del fibrato cotangente, lo spazio duale del fibrato tangente. In modo equivalente, una 1-forma su una varietà M è una funzione liscia \alpha_x definita dallo spazio totale del fibrato tangente di M a \R la cui restrizione ad ogni fibra è un funzionale lineare sullo spazio tangente. In simboli:

\alpha : TM \rightarrow {\mathbb{R}} \qquad \alpha_x = \alpha|_{T_xM}: T_xM\rightarrow {\mathbb{R}}

dove \alpha_x è lineare.

Spesso le 1-forme sono descritte localmente come combinazioni lineari dei differenziali delle coordinate:

\alpha_x = f_1(x) \, dx_1 + f_2(x) \, dx_2+ \cdots +f_n(x) \, dx_n

dove f_i sono funzioni lisce. Da questo punto di vista, una 1-forma obbedisce ad una legge di trasformazione covariante per cambiare sistema di coordinate. Si tratta quindi di un campo tensoriale covariante di ordine 1.

Differenziale di una funzione[modifica | modifica sorgente]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi Differenziale (matematica).

Sia  U \subseteq \mathbb{R} un insieme aperto, ad esempio un intervallo  (a,b) , e si consideri una funzione differenziabile  f: U \to \mathbb{R} , con derivata f'. Il differenziale df di f, nel punto  x_0\in U , è definito come una trasformazione lineare della variabile dx data da:

df(x_0, dx): dx \mapsto f'(x_0) dx

Il simbolo dx è quindi un argomento (variabile indipendente) della funzione df. La mappa x \mapsto df(x,dx) associa quindi ogni punto al funzionale lineare df(x,dx). Si tratta del più semplice esempio di 1-forma differenziale.

Bibliografia[modifica | modifica sorgente]

  • (EN) J.A. Wheeler, C. Misner, K.S. Thorne, Gravitation, W.H. Freeman & Co, 1973, p. 57, ISBN 0-7167-0344-0.
  • (EN) I.R. Shafarevich, Basic algebraic geometry , Springer (1977)
  • (EN) M. Baldassarri, Algebraic varieties , Springer (1956)
  • (EN) R. Hartshorne, Algebraic geometry , Springer (1977)

Voci correlate[modifica | modifica sorgente]

Collegamenti esterni[modifica | modifica sorgente]

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