Differenza finita

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In matematica, una differenza finita è un'espressione matematica nella forma di una differenza tra i valori assunti da una funzione in due specifici punti. Le differenze finite sono centrali nell'analisi numerica per l'approssimazione delle derivate e quindi nella risoluzione numerica delle equazioni differenziali. Tale differenza viene in genere indicata con la lettera greca "Δ" seguita dalla quantità che subisce tale variazione (ad esempio Δx).[1]

Definizione[modifica | modifica sorgente]

In generale una differenza con centro c e passo h è definita come: \Delta_{c,h} f(x)=f(x+c+\frac{h}{2})-f(x+c-\frac{h}{2}) \quad \forall c,h \in \R, Si studiano principalmente tre tipi di differenze finite:

  • in avanti: \Delta_h f (x)= \Delta_{\frac h 2, h} f (x)=f(x+h)-f(x)
  • all'indietro:  \Delta_{-h} f (x)= \Delta_{-\frac h 2, h} f(x)=f(x)-f(x-h)
  • centrata: \Delta_0 f (x)= \Delta_{0,h} f(x)=f(x+\frac{h}{2})-f(x-\frac{h}{2})

Relazione con le derivate[modifica | modifica sorgente]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi Approssimazione numerica di una derivata.

La derivata di una funzione, se esiste, è definita come il limite del rapporto incrementale:

f^{\prime}(x) = \lim_{h,c\to 0}\frac{\Delta_{c,h} f(x)}{h}

cioè è possibile utilizzare differenze finite prese non solo in avanti, all'indietro o centrate.

Il tipo di differenza finita utilizzato diventa importante qualora si operi l'approssimazione, il cui ordine è massimo per la centrata e cala col valore assoluto del centro.

Metodo alle differenze finite[modifica | modifica sorgente]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi Metodo alle differenze finite.

Le differenze finite possono essere utilizzate per discretizzare una equazione differenziale ordinaria. Un esempio classico è il metodo di Eulero, che sfrutta alternativamente tutti e tre i tipi di differenze finite qua definite.

Operatore[modifica | modifica sorgente]

Un operatore astratto agente su uno spazio funzionale che, data una funzione, ne restituisce la differenza finita con centro c e passo h si dice un operatore alle differenze dove Δc, h Quello in avanti per esempio può essere espresso come

\Delta_h =T_h - I

dove T_h è l'operatore di shift T_h(f)=f(x+h) e I l'identità. Similmente si possono descrivere gli altri due tipi.

Qualsiasi operatore alle differenze di quelli visti è lineare e soddisfa la regola di Leibniz.

La relazione di Taylor può essere espressa allora in termini simbolici come

\Delta_h= \sum_i \frac{h^i D^i}{i!} \sim h D +\frac{1}{2}h^2D^2+\frac{1}{3!}h^3D^3+...

dove D è l'operatore differenziale che trasforma una funzione nella sua derivata.

Differenze finite di ordine superiore[modifica | modifica sorgente]

Si possono definire approssimazioni per le derivate di ordine successivo in modo iterativo. Utilizzando ad esempio le differenze centrate per approssimare f'(x+h/2) - f'(x-h/2) otteniamo la differenza finita centrata del second'ordine

 \Delta_0^2 f (x) =  f(x+h) - 2 f(x) + f(x-h)

Più in generale, le differenze finite dell' n-esimo ordine sono definite rispettivamente come

\Delta^n_h f(x) = \sum_{i = 0}^{n} (-1)^i \binom{n}{i} f(x + (n - i) h)
\Delta^n_{-h} f(x) = \sum_{i = 0}^{n} (-1)^i \binom{n}{i} f(x - ih)
\Delta^n_0 f(x) = \sum_{i = 0}^{n} (-1)^i \binom{n}{i} f\left(x + \left(\frac{n}{2} - i\right) h\right)

Se necessario, ovviamente, si possono mischiare i tre tipi centrando l'approssimazione successivamente in punti diversi.

Per k e n positivi vale infine che

\Delta^n_{kh} (f, x) = \sum\limits_{i_1=0}^{k-1} \sum\limits_{i_2=0}^{k-1} ... \sum\limits_{i_n=0}^{k-1} \Delta^n_h (f, x+i_1h+i_2h+...+i_nh).

Note[modifica | modifica sorgente]

  1. ^ (EN) IUPAC Gold Book, "change of a quantity"

Voci correlate[modifica | modifica sorgente]

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