Prodotto vuoto

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In matematica si usa l'espressione prodotto vuoto quando in una moltiplicazione non ci sono fattori. Una tale situazione può capitare ad esempio in una produttoria come

\prod_{i=2}^1 x_i

in cui l'indice inferiore è maggiore dell'indice superiore. In questa produttoria infatti non ci sono indici che soddisfano entrambe le condizioni (cioè l'intervallo [2,1] è vuoto), quindi non esistono fattori che possono essere moltiplicati.

Quanto fa un prodotto vuoto?[modifica | modifica sorgente]

Si potrebbe cadere nell'errore di credere che un prodotto vuoto non sia definibile, o che ricada in qualche errore concettuale. Invece il risultato di un prodotto vuoto è semplicemente uno.

Calcolo intuitivo[modifica | modifica sorgente]

Lo si può capire pensando che l'1 è l'elemento neutro della moltiplicazione, cioè il risultato che si ottiene quando "non si modifica nulla". Altrimenti si può ritrovare con un semplice calcolo: prendiamo ad esempio il prodotto x_1 \cdot x_2 \cdot x_3 \cdot x_4 e dividiamo uno dopo l'altro per tutti i fattori. Togliendo x_4 rimane

x_1 \cdot x_2 \cdot x_3 \cdot x_4 \cdot \frac{1}{x_4}=x_1 \cdot x_2 \cdot x_3

e così via:

x_1 \cdot x_2 \cdot \frac{1}{x_2}=x_1
x_1 \cdot \frac{1}{x_1}=1

per definizione di elemento inverso della moltiplicazione. Dunque togliendo tutti i fattori, cioè rimanendo con il prodotto vuoto, il risultato che esce è proprio 1.

Calcolo tramite logaritmi[modifica | modifica sorgente]

La definizione di prodotto vuoto può essere basata su quella di somma vuota. Infatti, per ogni base b>0 vale che

\log_b n + \log_b m = \log_b nm

e quindi che

b^{\log_b n + \log_b m} = nm

o più generalmente

\prod_i x_i = b^{\sum_i \log_b x_i}

Dunque, se l'esponente del secondo membro è la somma vuota (che dà come risultato 0), il prodotto vuoto che sta al primo membro sarà 1, poiché b^0=1.[1]

Prodotto cartesiano vuoto[modifica | modifica sorgente]

Se nella definizione di prodotto cartesiano supponiamo che l'insieme di indici sia vuoto, l'unica funzione che soddisfa la richiesta è la funzione vuota:

\prod \varnothing = \{ f_\varnothing: \varnothing \to \varnothing \}.

Dunque, la cardinalità del prodotto cartesiano vuoto di insiemi è 1.

Note[modifica | modifica sorgente]

  1. ^ Il fatto che b0 sia a sua volta pari ad 1 è una delle proprietà delle potenze.

Voci correlate[modifica | modifica sorgente]

Collegamenti esterni[modifica | modifica sorgente]

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